Teorema de harcourt

El teorema de Harcourt  es una fórmula en geometría para el área de un triángulo en función de las longitudes de los lados y las distancias de los vértices del triángulo a una recta arbitraria tangente a la circunferencia inscrita [1] .

El teorema lleva el nombre de J. Harcourt, un profesor irlandés [2] .

Declaración

Sea el triángulo dado por sus vértices A , B y C , los lados opuestos a los vértices tienen longitudes a , b y c , el área es igual a K y la línea toca el círculo inscrito en el triángulo en un punto arbitrario. Denotemos las distancias de los vértices del triángulo a la línea recta como a ', b ' y c ', mientras que si el vértice y el centro del círculo se encuentran en lados opuestos de la línea recta, la distancia se considera negativa. Después

Caso degenerado

Si la línea tangente contiene uno de los lados del triángulo, entonces dos distancias son iguales a cero y la fórmula se simplifica a la fórmula del triángulo: el doble del área es igual al producto de la base y la altura.

Generalización

• Si la recta es tangente a la excircunferencia opuesta a, digamos, el vértice A del triángulo, entonces [3]

• Si en una tangente a una circunferencia de radio x , concéntrica con la circunferencia inscrita, se dejan caer perpendiculares desde los vértices del triángulo , entonces [4] .

• En particular, si x=r , donde r es el radio del círculo inscrito, entonces tenemos el teorema de Harcourt .

Propiedad de dualidad

Si a', b', c' en lugar de la distancia a una tangente arbitraria a la circunferencia inscrita denotan las distancias de los lados a un punto arbitrario, la igualdad

sigue siendo cierto [5] .

Notas

1. ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , p. 117-124.
2. ↑ G.-M., 1912 , pág. 750.
3. ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , Thm.3.
4. ↑ Zetel S. I. Nueva geometría de un triángulo. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. Corolario en p. 43.
5. ↑ Whitworth, 2012 , pág. once.

Literatura

• Nikolaos Dergiades, Juan Carlos Salazar. Teorema de Harcourt  // Forum Geometricorum. - 2003. - T. 3 .
• FG-M. Ejercicios de géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 question résolues  (neopr.) . - edición=5ª. - Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (París), 1912. - (Cours de mathématiques elementaires).
• William Allen Whitworth. Coordenadas Trilineales y Otros Métodos de Geometría Analítica Moderna de Dos Dimensiones . - 2012. - (Libros olvidados (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).).