Triángulo

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Triángulo

costillas	3
Símbolo Schläfli	{3}
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Un triángulo (en el espacio euclidiano ) es una figura geométrica formada por tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en una línea recta . Estos tres puntos se llaman los vértices del triángulo, y los segmentos se llaman los lados del triángulo. La parte del plano delimitada por los lados se denomina interior del triángulo: a menudo se considera el triángulo junto con su interior (por ejemplo, para definir el concepto de área) [1] .

Los lados de un triángulo forman tres ángulos en los vértices de un triángulo , por lo que un triángulo también se puede definir como un polígono que tiene exactamente tres ángulos [2] , es decir, como parte de un plano delimitado por tres segmentos que conectan tres puntos que no se encuentran en una línea recta. El triángulo es una de las figuras geométricas más importantes y ampliamente utilizada en la ciencia y la tecnología, por lo que el estudio de sus propiedades se viene realizando desde la antigüedad.

El concepto de triángulo admite varias generalizaciones. Puede definir este concepto en geometría no euclidiana (por ejemplo, en una esfera ): en tales superficies , un triángulo se define como tres puntos conectados por geodésicas . En geometría -dimensional, el análogo de un triángulo es el símplex -ésimo dimensional . $norte$ $norte$

A veces se considera un triángulo degenerado , cuyos tres vértices se encuentran en la misma línea recta. A menos que se indique lo contrario, se supone que el triángulo de este artículo no es degenerado.

Elementos básicos del triángulo

Vértices, lados, esquinas

Tradicionalmente, los vértices de un triángulo se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino: , y los lados opuestos a ellos, con las mismas letras minúsculas (ver figura). Un triángulo con vértices y se denota como . Los lados también se pueden denotar por las letras de sus vértices delimitadores: , , . $A B C$ $A$ $B$ $C$ $\Delta ABC$ ${\ estilo de visualización AB = c}$ $BC=a$ $CA=b$

El triángulo tiene los siguientes ángulos: $\Delta ABC$

ángulo - el ángulo formado por los lados y y opuesto al lado ; $\ángulo A=\ángulo BAC$ $AB$ $C.A.$ $antes de Cristo$
ángulo - el ángulo formado por los lados y y opuesto al lado ; $\ángulo B=\ángulo ABC$ $AB$ $antes de Cristo$ $C.A.$
ángulo - el ángulo formado por los lados y y opuesto al lado . $\ángulo C=\ángulo ACB$ $antes de Cristo$ $C.A.$ $AB$

Los valores de los ángulos en los vértices correspondientes se indican tradicionalmente con letras griegas ( , , ). $\alfa$ $\beta$ $\gama$

El ángulo externo de un triángulo plano en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interno del triángulo en este vértice (ver figura). Si el ángulo interior en un vértice dado de un triángulo está formado por dos lados que salen de un vértice dado, entonces el ángulo exterior de un triángulo está formado por un lado que sale de un vértice dado y la continuación del otro lado que sale del mismo . vértice. La esquina exterior puede tomar valores desde hasta . ${\ estilo de visualización DCA}$ $A B C$ $C$ ${\ estilo de visualización ACB}$ ${\ estilo de visualización 0}$ $180^{\círculo}$

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus tres lados, y la mitad de este valor se llama semiperímetro .

Clasificación de triángulos

Por el tamaño de los ángulos

Dado que en la geometría euclidiana la suma de los ángulos de un triángulo es , entonces al menos dos ángulos del triángulo deben ser agudos (menores que ). Existen los siguientes tipos de triángulos [2] . $180^{\círculo}$ $90^{\círculo}$

Si todos los ángulos de un triángulo son agudos, entonces el triángulo se llama agudo .
Si uno de los ángulos del triángulo es recto (igual ), entonces el triángulo se llama rectángulo . Los dos lados que forman un ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa . $90^{\círculo}$
Si uno de los ángulos del triángulo es obtuso (mayor que ), entonces el triángulo se llama obtuso Los dos ángulos restantes son evidentemente agudos (no puede haber triángulos con dos ángulos obtusos o rectos). $90^{\círculo}$

Por el número de lados iguales

Un triángulo se llama escaleno si los tres lados no son iguales.
Un triángulo isósceles es aquel en el que dos lados son iguales. Estos lados se llaman lado , el tercer lado se llama base . En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.
Se llama triángulo equilátero o rectángulo , en el que los tres lados son iguales. En un triángulo equilátero, todos los ángulos son iguales a 60°, y los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden . Un triángulo equilátero es un caso especial de un triángulo isósceles.

Medianas, alturas, bisectrices

La mediana de un triángulo dibujado a partir de un vértice dado es el segmento que conecta este vértice con el punto medio del lado opuesto (la base de la mediana). Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto. Este punto de intersección se llama baricentro o centro de gravedad del triángulo. El apellido se debe a que un triángulo hecho de un material homogéneo tiene un centro de gravedad en el punto de intersección de las medianas. El centroide divide cada mediana 1:2 desde la base de la mediana. Un triángulo con vértices en los puntos medios de las medianas se llama triángulo mediano . Las bases de las medianas de un triángulo dado forman el llamado triángulo complementario . La longitud de la medianabajada hacia el ladose puede encontrar mediante las fórmulas: ${\ estilo de visualización m_ {c},}$ ${\ estilo de visualización c,}$

m_{c}={1 \sobre 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \sobre 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos\gamma}};

de manera similar para otras medianas.

Altura en triángulos de varios tipos.
Las alturas se cortan en el ortocentro

La altura de un triángulo trazado desde un vértice dado se llama la perpendicular que baja de este vértice al lado opuesto o su continuación. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto, llamado ortocentro del triángulo. Un triángulo con vértices en las bases de las alturas se llama ortotriángulo .

La longitud de la altura bajada hacia el lado se puede encontrar mediante las fórmulas: $h_{c}$ $C$

h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta =c\,{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))

; similar para otras alturas.

Las longitudes de las alturas rebajadas a los lados. también se puede encontrar usando las fórmulas: [3] :p.64

h_{c}={\frac {ab}{2R)),\quad h_{a}={\frac {bc}{2R)),\quad h_{b}={\frac {ca} {2R}}

La bisectriz ( bisectriz ) de un triángulo dibujado desde un vértice dado es un segmento que conecta este vértice con un punto en el lado opuesto y divide el ángulo en el vértice dado por la mitad. Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto, y ese punto es el mismo que el centro del círculo inscrito ( incentro ).

Si el triángulo es escaleno (no isósceles), entonces la bisectriz dibujada desde cualquiera de sus vértices se encuentra entre la mediana y la altura dibujada desde el mismo vértice. Otra propiedad importante de la bisectriz: divide el lado opuesto en partes proporcionales a los lados adyacentes [4] .

La longitud de la bisectriz bajada hacia un lado se puede encontrar mediante una de las fórmulas: $l_{c}$ $C$

l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, donde es el semiperímetro de .

pags

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}={\frac {c\,\sin \alpha \cdot \sin \ beta }{\sin(\alpha +\beta )\cdot \cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

l_{c}={\frac {h_{c)){\cos {\frac {\alpha -\beta}{2))))

; aquí está la altura.

h_{c}

La altura, la mediana y la bisectriz de un triángulo isósceles, bajado a la base, son iguales. Lo contrario también es cierto: si la bisectriz, la mediana y la altura dibujadas desde un vértice son iguales, entonces el triángulo es isósceles.

Círculos circunscritos e inscritos

El círculo circunscrito (ver la figura de la derecha) es un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. La circunferencia circunscrita es siempre única, su centro coincide con el punto de intersección de las perpendiculares a los lados del triángulo, trazadas por los puntos medios de los lados. En un triángulo obtuso, este centro se encuentra fuera del triángulo [4] .

El círculo inscrito (ver la figura de la derecha) es un círculo tangente a los tres lados del triángulo. Ella es la única. El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro , coincide con el punto de intersección de las bisectrices del triángulo.

Las siguientes fórmulas te permiten calcular los radios de los círculos inscritos y circunscritos . $R$ $r$

r={S \sobre p},

donde es el área del triángulo y es su semiperímetro .

S

pags

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}{4(a+b+c)))))

R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}

R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))))))

{\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_ {C}}}

¿ Dónde están los radios de los círculos correspondientes? ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c))$

Dos proporciones más útiles:

{\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;

[5]

2Rr={\frac{abc}{a+b+c}}

También existe la fórmula de Carnot [6] :

R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})

donde , , son las distancias desde el centro de la circunferencia circunscrita , respectivamente, a los lados , , del triángulo, , , son las distancias desde el ortocentro , respectivamente, a los vértices , , del triángulo. ${\ Displaystyle k_ {a}}$ ${\ Displaystyle k_ {b}}$ $k_{c}$ $a$ $b$ $C$ $d_{A}$ $d_{B}$ ${\ estilo de visualización d_ {C}}$ $A$ $B$ $C$

La distancia desde el centro del círculo circunscrito , por ejemplo, al lado del triángulo es: $a$

k_{a}=a/(2\operatorname {tg} A)

;

la distancia del ortocentro , por ejemplo, al vértice del triángulo es: $A$

d_{A}=a/\operatorname {tg} A

Signos de triángulos iguales

Un triángulo en el plano euclidiano puede definirse únicamente (hasta la congruencia ) por los siguientes tripletes de elementos básicos: [7]

$a$ , , (igualdad en dos lados y el ángulo entre ellos); $b$ $\gama$
$a$ , , (igualdad en el lado y dos ángulos adyacentes); $\beta$ $\gama$
$a$ , , (igualdad en tres lados). $b$ $C$

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

a lo largo del cateto y la hipotenusa;
en dos piernas;
a lo largo de la pierna y ángulo agudo;
hipotenusa y ángulo agudo.

Característica adicional: los triángulos son iguales si tienen dos lados y un ángulo opuesto al mayor de estos lados [8] .

En la geometría esférica y en la geometría de Lobachevsky hay un signo de que los triángulos son iguales en tres ángulos.

Signos de semejanza de triángulos

Propiedades básicas de los elementos triangulares

Propiedades de esquina

En cualquier triángulo, el ángulo mayor se encuentra frente al lado mayor, y viceversa. Los ángulos iguales se encuentran contra lados iguales [8] .

Cada ángulo externo de un triángulo es igual a la diferencia entre 180° y el ángulo interno correspondiente. Para un ángulo externo, el teorema del ángulo externo del triángulo también se cumple : un ángulo externo es igual a la suma de otros dos ángulos internos que no son adyacentes a él [8] .

La desigualdad triangular

En un triángulo no degenerado, la suma de las longitudes de sus dos lados es mayor que la longitud del tercer lado; en uno degenerado, es igual. En otras palabras, las longitudes de los lados de un triángulo no degenerado están relacionadas por las siguientes desigualdades:

a<b+c,\quad b<c+a,\quad c<a+b

Propiedad adicional: cada lado del triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos lados [8] .

Teorema de la suma del triángulo

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es siempre 180°:

\alfa +\beta +\gamma =180^{\circ}

En la geometría de Lobachevsky la suma de los ángulos de un triángulo siempre es menor a 180°, mientras que en una esfera siempre es mayor.

Teorema del seno

{\frac {a}{\sin \alpha}}={\frac {b}{\sin \beta}}={\frac {c}{\sin \gamma}}=2R

donde es el radio del círculo circunscrito al triángulo. $R$

Teorema del coseno

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\quad b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta ,\quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

Es una generalización del teorema de Pitágoras .

comentario _ el teorema del coseno también se denomina las siguientes dos fórmulas, fácilmente deducidas del teorema principal del coseno (ver p. 51, f. (1.11-2)) [9] .

a^{2}=(b+c)^{2}-4bc\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2)),\quad a^{2}=(bc)^ {2}+4bc\sen ^{2}{\frac {\alpha }{2))

El teorema de la proyección

Fuente: [10] .

c=a\cos \beta +b\cos \alpha ,\quad a=b\cos \gamma +c\cos \beta ,\quad b=c\cos \alpha +a\cos \gamma

Teorema de la tangente

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\operatorname {tg } [{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}});{\frac {bc}{b+c}}={\frac {\operatorname {tg} [{\frac { 1}{2}}(\beta -\gamma )]}{\operatorname {tg} [{\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )]}});{\frac {ac }{ a+c))={\frac {\nombre del operador {tg} [{\frac {1}{2}}(\alpha -\gamma )]}{\nombre del operador {tg} [{\frac {1} {2 }}(\alfa +\gamma)]}}.

Otro nombre: fórmula de Regiomontanus .

Teorema de la cotangente

{\frac {pa}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {pb}{\operatorname {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc }{\nombre del operador {ctg} (\gamma /2)}}=r

Fórmulas de Mollweide

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\cos {\frac {AB}{2}}}{\sin {\frac {C}{2}}}},\ cuádruple {\frac {ab}{c}}={\frac {\sin {\frac {AB}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}

Resolviendo triángulos

El cálculo de lados, ángulos y otras características desconocidas de un triángulo a partir de los conocidos se ha denominado históricamente " resolución de triángulos ". Esto utiliza los teoremas trigonométricos generales anteriores, así como los signos de igualdad y semejanza de triángulos .

Área de un triángulo

A continuación, usamos la notación

$\ h_{a},h_{b},h_{c}$ - alturas dibujadas a los lados , ${\ estilo de visualización \ a, b, c}$
$\metro$ - mediana desde el vértice del ángulo con lados ${\ estilo de visualización \ a, b,}$
$p={\frac{a+b+c}{2}}$ - semiperímetro,
$\ p_{m}={\frac{a+b+2m}{2))$ ,
$\r$ es el radio de la circunferencia inscrita ,
${\ estilo de visualización \ r_{a},r_{b},r_{c))$ son los radios de la excircunferencia tangente a los lados , ${\ estilo de visualización \ a, b, c}$
${\ estilo de visualización \ r_{a},r_{b},r_{c))$
$\R$ es el radio del círculo circunscrito .

El área de un triángulo está relacionada con sus elementos principales por las siguientes relaciones.

$S_{\triángulo ABC}={\frac{1}{2}}bh_{b}$
$S_{\triángulo ABC}={\frac {1}{2}}ab\sen \gamma$
$S_{\triángulo ABC}={\frac {abc}{4R))$
$S_{\triángulo ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+ca)(a+cb )(a+bc)}}$ - Fórmula de Garza
${\displaystyle S_{\triángulo ABC}=(pb)r_{b))$ [once]
$S_{\triángulo ABC}={\sqrt {p_{m}(p_{m}-a)(p_{m}-b)(p_{m}-2m)))$

${\ Displaystyle S = {\ sqrt {rr_ {a} r_ {b} r_ {c}}}}$ [12]
$S_{\triángulo ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
$S_{\triángulo ABC}={\frac {c^{2}}{2(\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta )))$
$S_{\triángulo ABC}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {CA}}\wedge {\overrightarrow {CB}})={\frac {1}{2}}( x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{C})-{\frac {1}{2}}(x_{B}-x_{C})(y_{A}-y_ {C})$ es el área orientada del triángulo.
$S_{\triángulo ABC}={\frac {1}{\displaystyle {\sqrt {\left({\frac {1}{h_{a))}+{\frac {1}{h_{b ))}+{\frac {1}{h_{c}}}\derecha)\left({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}} -{\frac {1}{h_{a}}}\derecha)\izquierda({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\ fracción {1}{h_{b}}}\derecha)\izquierda({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1 {h_{c}}}\derecho)}}}}}$ - ver Análogos de la fórmula de Heron
$S_{\triangle ABC}=r^{2}\operatorname {ctg} ({\frac {\alpha }{2)))\operatorname {ctg} ({\frac {\beta }{2)) )\nombre del operador {ctg} ({\frac {\gamma}{2)))$

Casos especiales

$S_{\triángulo ABC}={\frac {ab}{2))$ - para un triángulo rectángulo
$S={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ - para un triangulo equilatero

Otras fórmulas

Hay otras fórmulas, como [13]

S={\frac {\operatorname {tg} \alpha }{4}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})

para esquina . ${\ estilo de visualización \ alfa \ neq 90 ^ {\ circ})$

En 1885, Baker [14] propuso una lista de más de cien fórmulas para el área de un triángulo. Incluye, en particular:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c))))

S={\frac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}}

S={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})))

S={\frac{Rh_{b}h_{c}}{a}}

Desigualdades para el área de un triángulo

Las siguientes desigualdades se cumplen para el área:

${\sqrt {27}}r^{2}\leqslant S\leqslant {\frac {\sqrt {27}}{4}}R^{2}$ , y se logran ambas igualdades.
$S\leqslant {\frac {1}{4}}(a^{2}+b^{2})$ , donde se logra la igualdad para un triángulo rectángulo isósceles.
El área de un triángulo con perímetro menor o igual a . La igualdad se logra si y solo si el triángulo es equilátero ( triángulo regular ) [15] [16] :657 . $pags$ $p^{2}/(12{\sqrt {3)))$
Otros límites para el área están dados por las fórmulas [17] :p.290 $S$

4{\sqrt {3}}S\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}

y ,

4{\sqrt {3}}S\leqslant {\frac {9abc}{a+b+c}}

donde en ambos casos se logra la igualdad si y solo si el triángulo es equilátero (regular).

Historia del estudio

Las propiedades de un triángulo estudiadas en la escuela, con raras excepciones, se conocen desde la antigüedad temprana. Los comienzos del conocimiento trigonométrico se pueden encontrar en los manuscritos matemáticos del antiguo Egipto , Babilonia y la antigua China . El principal logro de este período fue la razón, que más tarde recibió el nombre de teorema de Pitágoras ; Van der Waerden cree que los babilonios lo descubrieron entre 2000 y 1786 a. mi. [Dieciocho]

Una teoría general y bastante completa de la geometría de los triángulos (tanto planos como esféricos ) apareció en la Antigua Grecia [19] . En particular, en el segundo libro " Comienzos " , el teorema 12 de Euclides es un análogo verbal del teorema del coseno para triángulos obtusos [20] . El teorema 13 siguiente es una variante del teorema del coseno para triángulos acutángulos . Las propiedades de los elementos de los triángulos (ángulos, lados, bisectrices, etc.) después de Euclides fueron tratadas por Arquímedes , Menelao , Claudio Ptolomeo , Pappus de Alejandría [21] .

En el siglo IV, tras el declive de la ciencia antigua, el centro de desarrollo de las matemáticas se trasladó a la India. Los escritos de los matemáticos indios ( siddhantas ) muestran que sus autores estaban bien familiarizados con los trabajos de los astrónomos y geómetras griegos [22] . Los indios estaban poco interesados en la geometría pura, pero su contribución a la astronomía aplicada ya los aspectos computacionales de la trigonometría es muy significativa.

En el siglo VIII, los científicos de los países del Cercano y Medio Oriente se familiarizaron con los trabajos de los antiguos matemáticos y astrónomos griegos e indios. Sus tratados astronómicos, análogos a los siddhantas indios, se llamaban " ziji "; un zij típico era una colección de tablas astronómicas y trigonométricas, provistas de una guía para su uso y (no siempre) un resumen de la teoría general [23] . La comparación de zijs del período de los siglos VIII-XIII muestra la rápida evolución del conocimiento trigonométrico. Las obras más antiguas que se conservan pertenecen a al-Khwarizmi y al-Marvazi (siglo IX).

Thabit ibn Qurra (siglo IX) y al-Battani (siglo X) fueron los primeros en descubrir el teorema fundamental del seno para el caso especial de un triángulo esférico rectángulo . Para un triángulo esférico arbitrario, la prueba fue encontrada (de varias maneras y probablemente de forma independiente) por Abu-l-Vafa , al-Khujandi e ibn Iraq a fines del siglo X [24] . En otro tratado, ibn Iraq formuló y demostró el teorema del seno para un triángulo plano [25] .

La presentación fundamental de la trigonometría (tanto plana como esférica) fue dada por el matemático y astrónomo persa Nasir ad-Din at-Tusi en 1260 [26] . Su "Tratado sobre el cuatripartito completo" contiene métodos prácticos para resolver problemas típicos, incluidos los más difíciles, resueltos por el propio at-Tusi [27] . Así, a fines del siglo XIII, se descubrieron los teoremas básicos necesarios para el trabajo práctico con triángulos.

En Europa, el desarrollo de la teoría trigonométrica se volvió extremadamente importante en los tiempos modernos, principalmente para la artillería , la óptica y la navegación en viajes marítimos de larga distancia. En 1551 aparecieron las tablas trigonométricas de 15 dígitos de Rheticus , alumno de Copérnico , con un paso de 10” [28] . La necesidad de cálculos trigonométricos complejos provocó el descubrimiento de los logaritmos a principios del siglo XVII , y las primeras tablas logarítmicas de John Napier contenían únicamente los logaritmos de las funciones trigonométricas.

El estudio del triángulo continuó en el siglo XVII: se demostró el teorema de Desargues (1636), se descubrió el punto de Torricelli (1640) y se estudiaron sus propiedades. Giovanni Ceva demostró su teorema transversal (1678). Leibniz mostró cómo calcular la distancia desde el centro de gravedad de un triángulo a sus otros puntos notables [21] . En el siglo XVIII se descubren la línea de Euler y el círculo de seis puntos (1765).

A principios del siglo XIX se descubrió la punta de Gergonne . En 1828 se demostró el teorema de Feuerbach . A finales del siglo XIX, pertenece la obra de Emile Lemoine , Henri Brocard , Joseph Neuberg . El círculo de nueve puntos fue explorado por Poncelet , Brianchon y Steiner y se descubrieron relaciones e imágenes geométricas previamente desconocidas, por ejemplo, el círculo de Brocard , los puntos de Steiner y Tarry . En 1860, Schlömilch demostró un teorema: tres líneas que conectan los puntos medios de los lados de un triángulo con los puntos medios de sus respectivas alturas se cortan en un punto. En 1937, el matemático soviético S. I. Zetel demostró que este teorema es cierto no solo para las alturas, sino también para cualquier otro ceviano . Los estudios de los geómetras enumerados anteriormente convirtieron la geometría del triángulo en una rama independiente de las matemáticas [29] .

Frank Morley hizo una contribución significativa a la geometría del triángulo a fines del siglo XIX y principios del XX . Demostró que el lugar geométrico de los centros de la cardioide inscrita en un triángulo consta de nueve rectas que, tomadas de a tres, son paralelas a los tres lados de un triángulo equilátero. Además, los 27 puntos en los que se cortan estas nueve líneas son los puntos de intersección de dos trisectrices del triángulo que pertenecen al mismo lado del triángulo. El más famoso es un caso especial de este teorema: las trisectrices interiores de los ángulos de un triángulo adyacente al mismo lado se intersecan por pares en tres vértices de un triángulo equilátero. Henri Lebesgue (1940) publicó una generalización de estos trabajos , introdujo los -sectores de un triángulo y estudió su ubicación en forma general [30] . $norte$

A partir de la década de 1830 , las coordenadas de puntos trilineales se utilizaron ampliamente en la geometría de triángulos . La teoría de las transformaciones se desarrolló activamente: proyectiva , isogonal , isotómica y otras. La idea de considerar los problemas de la teoría de triángulos en el plano complejo resultó útil . [29] .

Información adicional

Todos los datos de esta sección se refieren a la geometría euclidiana .

El segmento de recta que une un vértice con un punto del lado opuesto se llama ceviana . Por lo general, un cevian no se entiende como uno de esos segmentos, sino como uno de los tres segmentos extraídos de tres vértices diferentes de un triángulo y que se cruzan en un punto . Satisfacen las condiciones del teorema de Ceva . Los cevianos que conectan el vértice de un triángulo con puntos en el lado opuesto, espaciados en una proporción dada desde sus extremos, se llaman nedianos . ${\ fracción {1}{n}}$
La línea media de un triángulo es el segmento de línea que conecta los puntos medios de los dos lados del triángulo. Las tres líneas medianas de un triángulo lo dividen en cuatro triángulos iguales, 4 veces más pequeños en área que el área del triángulo original.
Las bisectrices perpendiculares (mediatrices) a los lados del triángulo también se cortan en un punto, que coincide con el centro de la circunferencia circunscrita .
Las cevianas que se encuentran sobre líneas simétricas a las medianas con respecto a las bisectrices se denominan simedianas . Pasan por un punto: el punto de Lemoine .
Las cevianas que se encuentran sobre líneas conjugadas isotómicamente a las bisectrices con respecto a las bases de las medianas se denominan antibisectoras . Pasan por un punto: el centro de antibisectores .
El foque de un triángulo es un segmento, uno de cuyos vértices está en el medio de uno de los lados del triángulo, el segundo vértice está en uno de los dos lados restantes, mientras que el foque divide el perímetro por la mitad.

Algunos puntos en el triángulo están "emparejados". Por ejemplo, hay dos puntos desde los cuales todos los lados son visibles en un ángulo de 60° o en un ángulo de 120°. Se llaman puntos de Torricelli . También hay dos puntos cuyas proyecciones en los lados se encuentran en los vértices de un triángulo regular. Estos son los puntos de Apolonio . Puntos y tales como los llamados puntos de Brokar . $PAGS$ $q$ $\ángulo ABP=\ángulo BCP=\ángulo CAP$ $\ángulo BAP=\ángulo CBP=\ángulo ACP$

Algunos maravillosos triángulos rectos

En cualquier triángulo , el centro de gravedad , el ortocentro , el centro del círculo circunscrito y el centro del círculo de Euler se encuentran en la misma línea recta, llamada línea de Euler .
En cualquier triángulo , el centro de gravedad , el centro de la circunferencia inscrita en él ( incentro ), su punto de Nagel , y el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo complementario (o centro de Spieker ) se encuentran en la misma línea recta, llamada la segunda línea de Euler (línea de Nagel) ${\ estilo de visualización A'B'C'}$
La recta que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita y el punto de Lemoine se llama eje de Brocard . Los puntos de Apolonio yacen en él .
Los puntos Torricelli y el punto Lemoine también se encuentran en la misma línea recta .
Si tomamos un punto en el circuncírculo de un triángulo, entonces sus proyecciones en los lados del triángulo estarán en una línea recta, llamada la línea de Simson del punto dado. Las líneas de Simson de puntos diametralmente opuestos del círculo circunscrito son perpendiculares.

Triángulos trilineales polares

La polar trilineal de un punto (polo) con respecto a un triángulo no degenerado es una línea recta definida por la siguiente construcción. Si continuamos los lados del triángulo ceviano de algún punto y tomamos sus puntos de intersección con los lados correspondientes, entonces los puntos de intersección resultantes estarán en una línea recta, llamada polar trilineal del punto de partida (la figura muestra la construcción del polar trilineal del punto rojo ). $PAGS$ ${\ Displaystyle FED}$ $Y$
La polar trilineal del baricentro es la línea recta en el infinito - (ver Fig.)

El polar trilineal del punto de Lemoine es el eje de Lemoine (ver Fig.)

Las tres bases y las tres bisectrices externas, respectivamente , y los ángulos externos del triángulo se encuentran en una línea recta, llamada eje de las bisectrices externas o eje antiórtico (ver figura). Este eje es también el polar trilineal del centro de la incircunferencia ( incentro ). $D$ $mi$ $F$ $ANUNCIO$ $CE$ ${\ estilo de visualización BF}$ $A B C$ ${\ Displaystyle DEF}$

Eje órtico - polar trilineal del ortocentro (ver fig.) ${\ Displaystyle DEF}$
Los polares trilineales de los puntos que se encuentran en la cónica circunscrita se intersecan en un punto (para el círculo circunscrito, este es el punto de Lemoine , para la elipse circunscrita de Steiner, es el centroide ).

Figuras inscritas y circunscritas para un triángulo

Transformaciones

A continuación se describen 3 tipos de transformaciones: 1) Conjugación isogonal, 2) Conjugación isotómica, 3) Transformación isocircular.

Conjugación isogonal

Si las líneas que pasan por los vértices y algún punto que no está en los lados y sus extensiones se reflejan con respecto a las bisectrices correspondientes, entonces sus imágenes también se intersecarán en un punto, que se llama isogonalmente conjugado inicial (si el punto yacía en el círculo circunscrito, entonces las líneas resultantes serán paralelas).
Muchos pares de puntos notables son isogonalmente conjugados :
- El centro de la circunferencia circunscrita y el ortocentro (punto de intersección de las alturas),
- Baricentro (punto de intersección de las medianas ) y punto de Lemoine (punto de intersección de las simedianas ),
- El centro de los nueve puntos y el punto Kosnita del triángulo asociado con el teorema de Kosnita [31] ;
- Dos puntas Brocard ;
- Puntos Apolonio y puntos Torricelli .
El punto de Gergonne y el centro de la homotecia negativa de los círculos inscritos y circunscritos.
El punto de Nagel y el centro de la homotecia positiva del incírculo y el circuncírculo ( punto de Verrier ).
Los círculos circunscritos de triángulos subdérmicos de puntos isogonalmente conjugados coinciden.
Los focos de las elipses inscritas son conjugados isogonalmente.
Una conjugación isogonal tiene exactamente cuatro puntos fijos (es decir, puntos conjugados entre sí): el centro de la circunferencia inscrita y los centros de las excircunferencias del triángulo [32] .
Si para cualquier punto interior de un triángulo construimos tres puntos que son simétricos a él con respecto a los lados, y luego dibujamos un círculo a través de los tres últimos, entonces su centro es isogonalmente conjugado al punto inicial [33] .

Conjugaciones isogonales de líneas triangulares

Bajo la acción de la conjugación isogonal, las líneas se convierten en cónicas circunscritas y las cónicas circunscritas en líneas rectas.
Entonces, isogonalmente conjugado:
- la hipérbola de Kiepert y el eje de Brocard ,
- La hipérbola de Enzhabek y la línea de Euler ,
- la hipérbola de Feuerbach y la línea de centros de los círculos inscritos y circunscritos .
Algunos cubos conocidos, por ejemplo, el cubo de Thomson , son isogonalmente autoadjuntos en el sentido de que cuando todos sus puntos en un triángulo se conjugan isogonalmente, se obtienen nuevamente cubos.

Conjugación de isotomía

Si, en lugar de una ceviana simétrica, tomamos una ceviana cuya base está tan alejada del centro del lado como la base del original, entonces esas cevianas también se cortarán en un punto. La transformación resultante se llama conjugación isotómica . También asigna líneas a cónicas circunscritas .

Los siguientes puntos son isotómicamente conjugados :
- Punto de Gergonne y Nagel ,
- el punto de intersección de las bisectrices ( incentro ) y el punto de intersección de las antibisectores ,
- El punto de Lemoine (el punto de intersección de las simedias) de un triángulo es isotómicamente conjugado con su punto de Brocard ,
- El baricentro (punto de intersección de las medianas) es isotómicamente conjugado consigo mismo.

Bajo transformaciones afines, los puntos isotómicamente conjugados pasan a los isotómicamente conjugados. Con la conjugación de isotomía , la elipse de Steiner descrita irá a la línea en el infinito .

Composición de una conjugación isogonal (o isotómica ) y una polar trilineal

La composición de una conjugación isogonal (o isotómica ) y una polar trilineal es una transformación de dualidad . Esto significa que si el punto conjugado isogonalmente ( isotómicamente ) al punto se encuentra en la polar trilineal del punto , entonces el polar trilineal del punto conjugado isogonalmente ( isotómicamente ) al punto se encuentra en la polar trilineal del punto . $X$ $Y$ $Y$ $X$
La polar trilineal del punto conjugado isogonalmente al punto del triángulo se llama línea central del punto [34] [35] . $Y$ $X$ $X$

Transformación isocircular

Si en los segmentos cortados por los lados del triángulo del círculo circunscrito, se inscriben círculos que tocan los lados en las bases de las cevianas trazadas por un punto determinado, y luego los puntos de contacto de estos círculos se conectan con el circunscrito círculo con vértices opuestos, entonces tales líneas se cruzarán en un punto. La transformación del plano, comparando el punto de partida con el resultante, se denomina transformación isocircular [36] . La composición de las conjugaciones isogonal e isotómica es la composición de la transformación isocircular consigo misma. Esta composición es una transformación proyectiva que deja los lados del triángulo en su lugar y traduce el eje de las bisectrices exteriores en una línea recta en el infinito.

Identidades trigonométricas con solo ángulos

Tres ángulos positivos , y , cada uno menor que , son ángulos de un triángulo si y solo si se cumple cualquiera de las siguientes relaciones: $\alfa$ $\beta$ $\gama$ $180^{\círculo}$

\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta +\operatorname {tg} \gamma =\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma

( primera identidad para tangentes )

comentario _ La relación anterior solo se aplica cuando ninguno de los ángulos es de 90° (en cuyo caso la función tangente siempre está definida).

\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2 }}\nombre del operador {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\nombre del operador {tg} {\frac {\gamma }{2}}\nombre del operador {tg} {\frac {\alpha }{2} }=1

, [37]

( segunda identidad para tangentes )

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

( primera identidad para senos )

\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2))+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2))+\sin ^{2}{\frac {\ gamma {2))+2\sin {\frac {\alpha }{2))\sin {\frac {\beta }{2))\sin {\frac {\gamma }{2))=1

, [37]

( segunda identidad para senos )

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma =1

, [5]

( identidad para cosenos )

{\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1

( identidad para razón de radios )

comentario _ Al dividir ambas partes de la segunda identidad por tangentes entre el producto , se obtiene una identidad por cotangentes : $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2} }$

\operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{ 2}}=\nombre del operador {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\nombre del operador {ctg} {\frac {\beta }{2}}\nombre del operador {ctg} {\frac {\gamma }{2 }}

en forma (pero no en contenido) muy similar a la primera identidad para tangentes .

Diferentes proporciones

Las razones métricas en un triángulo se dan para : $\triángulo ABC$

${\frac{a}{b}}={\frac{a_{L}}{b_{L}}}$
$l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a_{L}b_{L ))}={\frac{2ab\cos {\frac {\gamma}{2}}}{a+b}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={\frac {1 {2}}{\raíz cuadrada {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }}$
$h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c))$
${\ estilo de visualización d ^ {2} = R (R-2r)}$ - Fórmula de Euler
${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma } {2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=4S(\operatorname {ctg} \alpha +\operatorname {ctg} \beta +\operatorname {ctg} \gamma )=2R^ {2}(3-(\cos 2\alfa +\cos 2\beta +\cos 2\gamma ))$
${\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2} +m_{c}^{2}$ [3] :p.70

Dónde:

$a$ , y son los lados del triángulo, $b$ $C$
${\ estilo de visualización a_ {L}}$ , son los segmentos en que la bisectriz divide al lado , ${\ estilo de visualización b_ {L}}$ $l_{c}$ $C$
$mamá}$ , , son las medianas dibujadas respectivamente a los lados , y , $megabyte}$ $m_{c}$ $a$ $b$ $C$
$decir ah}$ , , son las alturas rebajadas respectivamente en los lados , y , $media pensión}$ $h_{c}$ $a$ $b$ $C$
$r$ es el radio de la circunferencia inscrita ,
$R$ es el radio de la circunferencia circunscrita ,
$p={\frac{a+b+c}{2}}$ - semiperímetro ,
$S$ - área ,
$d$ es la distancia entre los centros de las circunferencias inscrita y circunscrita.
Para cualquier triángulo cuyos lados estén relacionados por desigualdades y cuya área sea , las longitudes de las mediatrices o mediatrices encerradas dentro del triángulo, reducidas al lado correspondiente (marcado con un subíndice), son [38] :Corolarios 5 y 6 $a\geqslant b\geqslant c$ $S$

{\displaystyle p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

, y .

{\displaystyle p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2))))

{\displaystyle p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2))))

Fórmulas para el área de un triángulo en coordenadas cartesianas en el plano

Notación

$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ son las coordenadas de los vértices del triángulo.

La fórmula general para el área de un triángulo en coordenadas cartesianas en el plano

S_{\triángulo ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatriz}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_ {C}&1\end{vmatriz}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+ x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{ A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}

En particular, si el vértice A está en el origen (0, 0), y las coordenadas de los otros dos vértices son B = ( x B , y B ) y C = ( x C , y C ) , entonces el área puede ser calculado como 1 ⁄ 2 del valor absoluto del determinante

T={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right| ={\frac{1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.

La última fórmula para el área de un triángulo en la literatura inglesa se llama fórmula del área encerrada dentro de un cordón roto estirado sobre clavos ( fórmula del cordón de zapato ), o fórmula geodésica (fórmula del topógrafo [39] ), o el área de Gauss fórmula.

Cálculo del área de un triángulo en el espacio usando vectores

Sean los vértices del triángulo en los puntos , , . $\ \mathbf{r} _{A}(x_{A},y_{A},z_{A})$ $\ \mathbf{r} _{B}(x_{B},y_{B},z_{B})$ $\ \mathbf{r} _{C}(x_{C},y_{C},z_{C})$

Introduzcamos el vector de área . La longitud de este vector es igual al área del triángulo, y está dirigido a lo largo de la normal al plano del triángulo: $\ \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}[\mathbf {r}_{B}-\mathbf {r}_{A},\mathbf {r}_{C}-\mathbf {real academia de bellas artes}]$

\mathbf {S} ={\frac {1}{2}}{\begin{vmatriz}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{B}-x_{A} &y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\x_{C}-x_{A}&y_{C}-y_{A}&z_{C}-z_{A}\end{ vmatriz}}

Sea , donde , , son las proyecciones del triángulo sobre los planos de coordenadas. Donde $\mathbf {S} =S_{x}\mathbf {i} +S_{y}\mathbf {j} +S_{z}\mathbf {k}$ $S_{x}$ ${\ Displaystyle S_ {y}}$ ${\ Displaystyle S_ {z}}$

S_{x}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatriz}y_{B}-y_{A}&z_{B}-z_{A}\\y_{C}-y_{A} &z_{C}-z_{A}\end{vmatriz}}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatriz}1&y_{A}&z_{A}\\1&y_{B}&z_{B} \\1&y_{C}&z_{C}\end{vmatriz}}

y de la misma manera

S_{y}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatriz}x_{A}&1&z_{A}\\x_{B}&1&z_{B}\\x_{C}&1&z_{C}\ end{vmatriz}},\qquad S_{z}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatriz}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\ \x_{C}&y_{C}&1\end{vmatriz}}

El área del triángulo es . $S={\raíz cuadrada {S_{x}^{2}+S_{y}^{2}+S_{z}^{2))}$

Una alternativa es calcular las longitudes de los lados (según el teorema de Pitágoras ) y luego usar la fórmula de Heron .

Cálculo del área de un triángulo usando las coordenadas cartesianas complejas de sus vértices

Si denotamos las coordenadas cartesianas complejas (en el plano complejo) de los vértices del triángulo, respectivamente, por , y y denotamos sus puntos conjugados complejos por , y , respectivamente , entonces obtenemos la fórmula: $a=x_{A}+y_{A}i$ $b=x_{B}+y_{B}i$ $c=x_{C}+y_{C}i$ ${\ barra {a}}$ ${\bar {b}}$ ${\ barra {c}}$

T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c} }&1\end{vmatriz}}

que es equivalente a la fórmula del área encerrada dentro de la línea quebrada del cordón del zapato estirado sobre los clavos ( fórmula del cordón del zapato ), o la fórmula geodésica (fórmula del topógrafo [39] ), o la fórmula del área de Gauss.

Triángulo en geometrías no euclidianas

En la esfera

Propiedades de un triángulo con lados , y ángulos , , . $a$ $b$ $C$ $A$ $B$ $C$

La suma de los ángulos de un triángulo (no degenerado) es estrictamente mayor que . $180^{\círculo}$

Todos los triángulos semejantes son congruentes.

Teorema del seno (en adelante, el lado de un triángulo esférico generalmente no se mide por una medida lineal, sino por el valor del ángulo central basado en él ):

{\frac {\sin A}{\sin a))={\frac {\sin B}{\sin b))={\frac {\sin C}{\sin c))

Teoremas del coseno:

\cos c=\cos a\cos b-\sin a\sin b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c

En el plano de Lobachevsky

Para un triángulo con lados , , y ángulos , , . $a$ $b$ $C$ $A$ $B$ $C$

La suma de los ángulos de un triángulo (no degenerado) es estrictamente menor que . $180^{\círculo}$

Como en una esfera, todos los triángulos semejantes son congruentes.

teorema del seno

{\frac {\sin A}{\operatorname {sh} a}}={\frac {\sin B}{\operatorname {sh} b}}={\frac {\sin C}{\operatorname {sh}c}}

Teoremas del coseno

\operatorname {ch} c=\operatorname {ch} a\operatorname {ch} b-\operatorname {sh} a\operatorname {sh} b\cos C

\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\operatorname {ch} c

Relación entre la suma de los ángulos y el área de un triángulo

El valor de la suma de los ángulos de un triángulo en los tres casos (plano euclidiano, esfera, plano de Lobachevsky) es consecuencia de la fórmula de Gauss-Bonnet

\int \limits _{\Omega }K\,d\sigma +\sum _{i}\varphi _{i}=2\pi \chi

En el caso de un triángulo, la característica de Euler es . Las esquinas son las esquinas exteriores del triángulo. El valor de la cantidad (curvatura gaussiana) es para geometría euclidiana, para una esfera, para el plano de Lobachevsky. ${\ estilo de visualización \ chi = 1}$ $\varphi _{i}$ $k$ $K=0$ $k = 1$ $K=-1$

Triángulo en geometría riemanniana

Designación

Símbolo	Unicode	Nombre
△	U+25B3	triángulo blanco apuntando hacia arriba

Véase también

Se pueden encontrar artículos adicionales sobre geometría de triángulos en las categorías:

Categoría: Geometría de triángulos .
Categoría:Teoremas de la geometría euclidiana
Categoría:Planimetría
Categoría:Teoremas de planimetría

Notas

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↑ 1 2 Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 218.
↑ 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
↑ 1 2 Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 221.
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↑ Zetel SI Nueva geometría triangular. Una guía para profesores. 2ª edición. M.: Uchpedgiz, 1962. problema en la p. 120-125. párrafo 57, p.73.
↑ Geometría según Kiselyov . Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine , § 41.
↑ 1 2 3 4 Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 219.
↑ Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas, 1973 .
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↑ Sa'ndor Nagydobai Kiss, "Una propiedad a distancia de la punta Feuerbach y su extensión", Forum Geometricorum 16, 2016, 283-290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf Archivado el 24 de octubre de 2018 en Wayback Machine .
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Literatura

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Historia

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Historia de las matemáticas, editada por A. P. Yushkevich en tres volúmenes, M .: Nauka.
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Enlaces

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Gran catalán gran noruego gran ruso Brockhaus y Efron Pequeño Brockhaus y Efron Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 11946969k J9U : 987007548775205171 LCCN : sh85137407 NKC : ph126753

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex

polígonos

Por número de lados

monógono
Grande en
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octágono
pentágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Trece
tetradecágono
Pentágono
Hexágono
De diecisiete
octágono
Diecinueveagón
Dodecágono
Veintiún lados
Veintidós ángulo
veintetrigon
veinte cuadrangular
Veinte pentágono
Veinte octágono
Tridecágono
Thirty-Biagon
Cuarenta cuadrados
Cuarenta bicagón
pentecostal
pentecostal
Hexágono
Sesenta y cuatro
heptágono
octágono
nonágono
[ es
Millagón
Diezmil-gon
cienmilésima
Milliogon
infinito

correcto

convexo	Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
estrellado	Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama

triangulos

cuadriláteros

ver también

Lista de polígonos
Punto perteneciente a un polígono
Teorema de Bolyai-Gervin
Teorema de Brahmagupta
Teorema de Gauss-Wanzel
Fórmula pico
Teorema de la suma de los ángulos del polígono
Relación Bretschneider