Teorema de zermelo

Teorema de Zermelo : un teorema de la teoría de conjuntos que establece que en cualquier conjunto es posible introducir una relación de orden tal que el conjunto estará completamente ordenado . Uno de los teoremas más importantes de la teoría de conjuntos. Nombrado en honor al matemático alemán Ernst Zermelo . El teorema de Zermelo es equivalente al axioma de elección , y por tanto al lema de Zorn .

Historia

Georg Cantor consideró que el enunciado de este teorema era "un principio fundamental del pensamiento". [1] De hecho, cualquier conjunto contable puede ordenarse por completo de forma trivial, por ejemplo, transfiriendo el orden del conjunto de los números naturales . Sin embargo, es difícil para la mayoría de los matemáticos imaginar ya el orden completo, por ejemplo, del conjunto de números reales. En 1904, Gyula König informó que había probado que tal orden no podía existir. Unas semanas más tarde, Felix Hausdorff descubrió un error en la demostración. [2] Sin embargo, Ernst Zermelo no tardó en publicar su célebre obra [3] , en la que demostraba que cualquier conjunto puede ordenarse por completo. Su prueba se basó en el axioma de elección, formulado por primera vez en el mismo artículo. La discusión suscitada por este hecho llevó a Zermelo a enfrentarse a la axiomatización de la teoría de conjuntos, lo que condujo a la creación de la axiomática de Zermelo-Fraenkel . $\matemáticas {R}$

Prueba

Para ver una demostración, consulte Enunciados equivalentes al axioma de elección .

Véase también

Literatura

Vereshchagin N. Shen A. Comienzos de la teoría de conjuntos. - 4ª ed. — M.: MTsNMO, 2012. — 112 p. - ISBN 978-5-4439-0012-4 .

Notas

↑ Georg Cantor (1883), "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten", Mathematische Annalen 21, págs. 545–591.
↑ Plotkin, JM (2005), Introducción a "El concepto de potencia en la teoría de conjuntos" , Hausdorff sobre conjuntos ordenados , vol. 25, Historia de las Matemáticas, American Mathematical Society, p. 23–30, ISBN 9780821890516 , < https://books.google.com/books?id=M_skkA3r-QAC&pg=PA23 > Archivado el 21 de noviembre de 2021 en Wayback Machine .
↑ Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann . Archivado el 7 de marzo de 2016 en Wayback Machine Mathematische Annalen, 1904.