Proposiciones equivalentes al axioma de elección

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Este artículo considera varias formulaciones y prueba la equivalencia de las siguientes oraciones:

La equivalencia de estas proposiciones debe entenderse en el sentido de que cualquiera de ellas, junto con el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) para la teoría de conjuntos, es suficiente para probar el resto.

El lema de Zorn y el principio del máximo de Hausdorff

Enunciados del Lema de Zorn ( ing. Zorn's Lemma ).

$\mathcal{ZL}_1.$ Un poset en el que cualquier cadena tiene un límite superior contiene un elemento máximo.

$\mathcal{ZL}_2.$ Si cada cadena en un conjunto parcialmente ordenado tiene un límite superior, entonces cada elemento de está sujeto a algún máximo. $METRO$ $METRO$

$\mathcal{ZL}_3.$ Sea una familia de conjuntos la propiedad de que la unión de cualquier cadena de conjuntos sea de nuevo un conjunto de esta familia. Luego contiene el conjunto máximo. $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

Enunciados del Principio Máximo de Hausdorff :

$\mathcal{HM}_1.$ Cualquier poset tiene un subconjunto máximo ordenado linealmente

$\mathcal{HM}_2.$ En un conjunto parcialmente ordenado, toda cadena está contenida en alguna de sus cadenas máximas.

Probaremos la equivalencia de estas proposiciones según el siguiente esquema:

\mathcal{ZL}_1 \quad \overset{(I)}{\Leftrightarrow} \quad \mathcal{ZL}_2 \quad \overset{(II)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_3 \quad \overset{(III)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_2 \quad \overset{(IV)}{\Rightarrow} \quad \mathcal{HM}_1 \quad \overset{(V)}{ \Rightarrow} \quad \mathcal{ZL}_1

I.\;\mathcal{ZL}_1 {\Leftrightarrow} \mathcal{ZL}_2

Es claro que se sigue de , ya que el mayor se afirma en: hay un elemento máximo mayor que el dado . Por el contrario, sea un poset en el que cada cadena tiene un límite superior, y sea . Apliquemos al conjunto . Su elemento máximo es también el elemento máximo de , y, además, satisface la condición . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathcal{ZL}_2$ $\mathcal{ZL}_2$ $a$ $METRO$ $un \ en M$ $\mathcal{ZL}_1$ $M^{'} = \{ m \in M \mid m \geqslant a\}$ ${\overline {a}}$ $METRO$ $a \leqslant \overline{a}$

II.\;\mathcal{ZL}_2 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_3

La familia de conjuntos está parcialmente ordenada por la relación de inclusión teórica de conjuntos . Cualquier cadena de conjuntos tiene un límite superior: es el conjunto que, por suposición, pertenece al sistema . En virtud de esto, la familia tiene un elemento máximo, es decir, un conjunto máximo respecto a la inclusión. $\mathfrak{M}$ $\subseteq$ $\{M_{\alfa}\}$ $\bigcup M_{\alfa}$ $\mathfrak{M}$ $\mathcal{ZL}_2$

III.\;\mathcal{ZL}_3 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_2

Sea un conjunto parcialmente ordenado, sea una cadena en , y sea el conjunto de todas las cadenas que contienen , ordenadas con respecto a la inclusión. La existencia de una cadena máxima que contiene ahora se sigue de , aplicada a , y del hecho de que la unión de todos los conjuntos de la cadena en (una "cadena de cadenas") es nuevamente un conjunto de . $METRO$ $C_{0}$ $METRO$ $\mathfrak{M}$ $METRO$ $C_{0}$ $C_{0}$ $\mathcal{ZL}_3$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{M}$

IV.\;\mathcal{HM}_2 {\Rightarrow} \mathcal{HM}_1

Obviamente. es un caso especial cuando la cadena original es un conjunto vacío . $\mathcal{HM}_1$ $\mathcal{HM}_2$ $\varnada$

V.\;\mathcal{HM}_1 {\Rightarrow} \mathcal{ZL}_1

Sea un conjunto parcialmente ordenado en la condición . Considere una cadena máxima en , cuya existencia se deriva de . Por suposición, esta cadena tiene un límite superior . Entonces es el elemento máximo de , y, además, pertenece a la cadena. Suponiendo lo contrario, llegamos a una contradicción con la condición máxima . $METRO$ $\mathcal{ZL}_1$ $C$ $METRO$ $\mathcal{HM}_1$ ${\overline {a}}$ ${\overline {a}}$ $METRO$ $C$

Estos argumentos prueban la equivalencia del principio máximo de Hausdorff y el lema de Zorn.

Teorema de Zermelo

Enunciado del teorema de Zermelo ( Principio de buen orden )

$\mathcal{WO}.$ Cualquier conjunto puede ser bien ordenado.

\mathcal{ZL}_1 \Rightarrow \mathcal{WO}

Sea un conjunto dado arbitrario. Demostremos que se puede ordenar completamente. $METRO$

Considere el conjunto de todos los pares , donde , y es la relación de orden total en . Sobre el conjunto introducimos una relación de orden natural: sigue si hay un segmento inicial , es decir, si para algunos y sobre el conjunto la relación coincide con . $\mathfrak{M}$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A\subconjunto M$ $\leqslant_A$ $A$ $\mathfrak{M}$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $\langle B, \leqslant_B \rangle$ $A = \{a \in B: a < b\}$ $b\en B$ $A$ $\leqslant_B$ $\leqslant_A$

A continuación, demostramos dos afirmaciones.

I. Hay un elemento máximo en B. $\mathfrak{M}$ Esto se deriva del hecho de que si es una cadena en , entonces la unión de todos los elementos es también un elemento que es el límite superior de la cadena . $\mathcal{ZL}_1$ $\mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $C \in \mathfrak{C}$ $\mathfrak{M}$ $\mathfrak{C}$

II. Si es el elemento máximo, entonces $\langle A, \leqslant_A \rangle$ $A=M$ . Si no fuera vacío, tomando algún elemento y colocando cualquier , obtendríamos un conjunto bien ordenado , cuyo segmento inicial es . Esto contradice la suposición máxima . $M \setminus A$ $b \in M \setminus A$ $b>a$ $a \ en A$ ${\displaystyle A\taza \{b\))$ $A$ $\langle A, \leqslant_A \rangle$

Por lo tanto, tenemos un conjunto bien ordenado . QED $\langle M, \leqslant_M \rangle$

\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{HM}_1

Sea un conjunto parcialmente ordenado. En virtud del teorema de Zermelo, un conjunto puede estar completamente ordenado. Sea una relación de buen orden en . $\langle M, \preceq \rangle$ $METRO$ $\leqslant$ $METRO$

Definimos una partición de un conjunto en dos subconjuntos por inducción en un conjunto bien ordenado (este método también se llama recursividad transfinita ). $METRO$ $C$ $\overline{C}$ $\langle M, \leqslant \rangle$

Let y todos los elementos ya se refieren a oa . Nos referimos a si es comparable con todos los elementos de ; de lo contrario, lo referimos a . $un \ en M$ $b<a$ $C$ $\overline{C}$ $a$ $C$ $C$ $\overline{C}$

Realizando así la construcción inductiva sobre un conjunto bien ordenado, obtenemos los conjuntos y . Como puede verse en la construcción , la cadena en . Además, está claro que es lo máximo. Por lo tanto, hemos probado el principio del máximo de Hausdorff. $\langle M, \leqslant \rangle$ $C$ $\overline{C}$ $C$ $\langle M, \preceq \rangle$

Axioma de Elección

Formulación del axioma de elección .

$\mathcal{AC}.$ Para toda familia de conjuntos no vacíos existe una función de elección , es decir, $\{S_{\alfa}\}, \alfa \en A$ $F$ $\forall\alfa\; f(\alfa) \in S_{\alfa}$

Basta probar la equivalencia de una de las proposiciones . Sin embargo, a continuación hay algunas pruebas. $\mathcal{AC}$ $\mathcal{ZL}, \mathcal{HM}, \mathcal{WO}$

$\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

Ver el libro de Hausdorff, o Kurosh

$\mathcal{AC} \rightarrow \mathcal{HM}$

El razonamiento es similar al utilizado en la demostración . $\mathcal{AC} \Rightarrow \mathcal{WO}$

$\mathcal{WO} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Ordenemos cada uno , y luego definamos la función de selección como el elemento mínimo del conjunto: $\{S_{\alfa}\}$

f(\alfa) = \min S_{\alfa}

$\mathcal{ZL} \Rightarrow \mathcal{AC}$

Ver el libro de Kurosh

Literatura

Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M. : "NAUKA", 1977. - 368 p.
Kolmogorov AN, Fomin SV Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - 7ª ed. - M. : "FIZMATLIT", 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Kurosh A. G. Conferencias sobre álgebra general. - 2ª ed. - M. : "NAUKA", 1973. - 400 p.
Hausdorff F. Teoría de conjuntos. - 4ª ed. - M. : URSS, 2007. - 304 p. - ISBN 978-5-382-00127-2 .