Teorema de Tsybenko

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El teorema de Tsybenko, el teorema de aproximación universal es un teorema probado por George Tsybenko en 1989 que establece que una red neuronal artificial con una capa oculta puede aproximar cualquier función continua de muchas variables con cualquier precisión. Las condiciones son: un número suficiente de neuronas en la capa oculta, buena selección y , donde $\mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2},\dots ,\mathbf {w} _{N},\mathbf {\alpha } ,$ $\mathbf {\theta}$

{\ estilo de visualización \ mathbf {w} _ {i}}

— pesos entre las neuronas de entrada y las neuronas de la capa oculta,

{\ estilo de visualización \ mathbf {\ alfa}}

- pesos entre las conexiones de las neuronas de la capa oculta y la neurona de salida,

\mathbf {\theta}

— compensaciones para las neuronas de la capa de entrada.

Presentación formal

Sea cualquier función sigmoidea continua , por ejemplo, . Entonces, si se da cualquier función continua de variables reales sobre (o cualquier otro subconjunto compacto de ) y , entonces existen vectores y y una función parametrizada tal que para todo $\varphi$ ${\displaystyle\varphi (\xi)=1/(1+e^{-\xi})}$ $F$ ${\ estilo de visualización [0,1] ^ {n})$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$ $\mathbf {w_{1}} ,\mathbf {w_{2}} ,\dots ,\mathbf {w_{N}} ,\mathbf {\alpha }$ $\mathbf {\theta}$ $G(\mathbf {\cdot } ,\mathbf {w} ,\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\theta } ):[0,1]^{n}\to R$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {x} \ en [0,1] ^ {n})$

{\big |}G(\mathbf {x} ,\mathbf {w} ,\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\theta } )-f(\mathbf {x} ){\big |} <\varepsilon,

dónde

G(\mathbf {x} ,\mathbf {w} ,\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\theta } )=\sum_{i=1}^{N}\alpha_{i} \varphi (\mathbf {w} _{i}^{T}\mathbf {x} +\theta _{i}),

y y $\mathbf {w} _{i}\in \mathbb {R} ^{n},$ $\alpha _{i},\theta _{i}\in \mathbb {R},$ $\mathbf {w} =(\mathbf {w}_{1},\mathbf {w}_{2},\dots,\mathbf {w}_{N}),$ $\mathbf {\alpha } =(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}),$ $\mathbf {\theta } =(\theta _{1},\theta _{2},\dots,\theta _{N}).$

Enlace

Cybenko, G. V. Aproximación por superposiciones de una función sigmoidal // Matemáticas de señales y sistemas de control. - 1989. - V. 2 , N º 4 . - S. 303-314 .
Hassoun, M. Fundamentos de las redes neuronales artificiales. - MIT Press, 1995. - S. 20, 48.

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Presentación formal

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Véase también