Teorema de Erdős-Kac

El teorema de Erdős-Kac  es una afirmación de la teoría de números que conecta la distribución del número de diferentes divisores primos de números grandes con las fórmulas de las leyes de límites de la teoría de la probabilidad . Este resultado de la teoría de números , obtenido por Pal Erdős y Mark Katz en 1940, establece que si  es el número de diferentes divisores primos del número , entonces la distribución límite de la cantidad

es la distribución normal estándar . Esta es una generalización profunda del teorema de Hardy-Ramanujan , que establece que el valor "medio" es y la "desviación estándar" no es más que .

Teorema

Más formalmente, el teorema establece que, para cualquier fijo , tenemos :

,

dónde

.

Prueba original

En la demostración original [1] , la afirmación sobre la normalidad de la distribución en el primer lema del teorema se basa en el hecho de que la función es aditiva y puede representarse como la suma de indicadores primos de divisibilidad . Además, sin introducir el concepto de variable aleatoria, los autores argumentan que los términos indicadores son independientes [2] . Luego, sin entrar en detalles, los autores se remiten a la fuente [3] , donde se prueba la normalidad de la distribución para sumas de variables aleatorias débilmente dependientes [4] . Al final de la prueba, los autores se disculpan por la superficialidad del lema “estadístico” [5] .

En 1958, Alfred Renyi y Pal Turan dieron una demostración más precisa.

Características

El teorema trata sobre la distribución de variables deterministas , y no sobre la distribución de probabilidad de una variable aleatoria . Pero si se elige un número aleatorio en un segmento suficientemente grande de números naturales , entonces el número de diferentes divisores primos de este número tendrá una distribución aproximadamente normal con expectativa matemática y varianza igual al valor promedio en el segmento. Dado que esta función, llamada logaritmo iterado, crece lentamente, tal promedio no conducirá a un gran error incluso en intervalos muy largos. El tipo de distribución conecta el teorema de Erdős-Kac con el teorema del límite central .

La tasa de crecimiento del logaritmo iterado

El logaritmo iterado  es una función de crecimiento extremadamente lento. En particular, los números hasta mil millones contienen, en promedio, tres números primos en la descomposición en números primos.

Por ejemplo 1,000,000,003 = 23 × 307 ×  141,623 .

norte Número de caracteres en n Número promedio de números primos en expansión desviación media
1000 cuatro 2 1.4
1,000,000,000 diez 3 1.7
1,000,000,000,000,000,000,000,000 25 cuatro 2
10 65 66 5 2.2
10 9566 9567 diez 3.2
10 210 704 568 210 704 569 veinte 4.5
10 10 22 10 22 +1 cincuenta 7.1
10 10 44 10 44 +1 100 diez
10 10 434 10 434 +1 1000 31.6

Si llenas una bola del tamaño de la Tierra con arena, necesitas unos 10 33 granos de arena. Se necesitarían 1093 granos de arena para llenar la parte visible del universo. 10.185 cuerdas cuánticas también pueden caber allí .

Los números de este tamaño, con 186 dígitos, en promedio consisten en solo 6 números primos en la descomposición.

Notas

  1. ↑ Paul Erdős , Mark Kac. La Ley Gaussiana de Errores en la Teoría de Funciones Teóricas de Números Aditivos  // American Journal of Mathematics. - 1940. - T. 62 , N° 1/4 . - S. 738-742 . Archivado desde el original el 17 de octubre de 2014. (MR2, 42c ; Zentralblatt 24, 102
  2. ↑ Si un número es divisible por , entonces no es divisible por un primo . Esto significa que si varios indicadores toman el valor 1, entonces los indicadores restantes son iguales a 0. Los indicadores son débilmente interdependientes y, además, tienen distribuciones diferentes.
  3. ↑ Cfr. por ejemplo, el primer capítulo del artículo de S. Bernstein, "Sur I'extension du theoreme limite du calcul des probabilites aux sommes de quantites dependantes", Mathematische Annalen, vol. 97, págs. 1-59.
  4. ↑ Aparentemente se asume la interdependencia de los términos, pero no se especifica.
  5. ↑ Citas de los autores.

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