Teorema de permutación en serie

Teorema de permutación en serie :

Reorganizar una serie absolutamente convergente da como resultado una serie convergente con la misma suma .

Prueba

Además , donde es una permutación de la serie natural. $m_{k}=\varfi(k)$ $\varphi:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$

Si la serie es positiva, entonces $\sum a_{k}$

\sum _{k=1}^{n}a_{m_{k))

\leqslant \sum_{{k=1}}^{N}a_{k},

donde y por lo tanto $N=\max \left\{m_{1},m_{2},...,m_{n}\right\},$

\sum _{k=1}^{\infty}a_{m_{k))

\leqslant \sum _{{k=1}}^{\infty}a_{k}.

Por tanto, permutar la serie no aumenta las sumas, y como la serie es a su vez una permutación de la serie , ambas sumas son iguales. Si la serie es alternante de signos, entonces sobre la base de la primera parte de la prueba $\sum a_{k}$ $\sum a_{m_{k))$
$\sum a_{k}$

\sum _{k=1}^{\infty}a_{m_{k))

=\sum_{k=1}^{\infty}b_{m_{k))

-\sum _{k=1}^{\infty}c_{m_{k))

=\sum_{{k=1}}^{\infty}b_{k}-\sum_{{k=1}}^{\infty}c_{k}=\sum_{{k=1} }^{\infty}a_{k}.

Véase también

El teorema de Riemann sobre series condicionalmente convergentes es el resultado opuesto para series condicionalmente convergentes .

Literatura

Yu. S. Bogdanov — Conferencias sobre análisis matemático — Parte 2 — Minsk — Editorial BSU. VI Lenin - 1978.