Espacio conectado

Un espacio conectado es un espacio topológico no vacío que no se puede dividir en dos subconjuntos abiertos no vacíos que no se cruzan.

Definición

El espacio vacío se considera desconectado.

Un espacio topológico no vacío se denomina desconectado si puede representarse como la unión de dos subconjuntos abiertos no vacíos que no se cruzan .

Un espacio topológico no vacío que no está desconectado se llama conectado .

Un subconjunto de un espacio topológico se llama conexo si, junto con su topología inducida , forma un espacio conexo.

Definiciones equivalentes

Sea X un espacio topológico. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

X está conectado.
X no se puede dividir en dos subconjuntos cerrados no vacíos que no se cruzan.
Los únicos subconjuntos de X que son tanto abiertos como cerrados son el conjunto vacío y todo el espacio de X. $\varnada$
Los únicos subconjuntos con un límite vacío son el conjunto vacío y todo el espacio X. $\varnada$
X no puede representarse como la unión de dos conjuntos no vacíos, cada uno de los cuales no interseca la clausura del otro.
Las únicas funciones continuas de X a un conjunto de dos puntos (con topología discreta) son constantes.

Definiciones relacionadas

Todo subconjunto conexo del espacio está contenido en algún subconjunto conexo máximo. Tales subconjuntos conexos máximos se denominan componentes conexos ( componentes conexos , componentes ) del espacio . $X$ $X$
- Un espacio en el que cada componente conectado consta de un solo punto se llama completamente desconectado . Los ejemplos son cualquier espacio con topología discreta, el espacio de números racionales en la línea real y el
conjunto de Cantor . $\matemáticas {Q}$

Si hay una base de la topología de un espacio , que consta de conjuntos abiertos conectados, entonces se dice que la topología del espacio y el espacio mismo (en esa topología) están conectados localmente .

X

X

X

Un espacio de Hausdorff compacto conexo se llama continuo .

El espacio , para cualesquiera dos puntos diferentes y para el cual existen conjuntos abiertos disjuntos y tales que , se llama completamente separado .

X

X

y

{\ estilo de visualización U \ ni x}

V\ni y

X=U\taza V

Obviamente, cualquier espacio completamente separado está completamente desconectado, pero lo contrario no es cierto. Considere un conjunto que consta de dos copias del conjunto . Introducimos una relación de equivalencia por la regla y construimos un espacio cociente con topología cociente con respecto a esta relación. Este espacio estará completamente desconectado, pero para dos (por definición, topológicamente distintas) copias de cero, no hay dos conjuntos abiertos que satisfagan la definición de un espacio completamente separado.

\matemáticas {Q}

q\sim p\Leftrightarrow q=p,\;q\neq 0,\;p\neq 0

Propiedades

En cualquier espacio topológico, el conjunto vacío y los conjuntos de un punto están conectados. Sin embargo, algunos autores no consideran que el conjunto vacío sea conexo. (Sin embargo, algunos autores tampoco lo consideran un conjunto).
En un espacio conectado, cada subconjunto (excepto el subconjunto vacío y el espacio completo) tiene un límite no vacío .
- Los subconjuntos con un límite vacío son subconjuntos abiertos y cerrados, y se denominan subconjuntos abiertos-cerrados . En un espacio conexo, todos los subconjuntos abiertos son triviales, ya sea vacíos o coincidentes con todo el espacio.
La imagen de un conjunto conexo bajo un mapeo continuo es conexa.
La conectividad de un espacio es una propiedad topológica, es decir, una propiedad que es invariante bajo homeomorfismos .
El cierre de un subconjunto conexo es conexo. $A$
- Además, cualquier subconjunto “intermedio” ( ) también es conexo. En otras palabras, si un subconjunto conexo es denso en , entonces el conjunto también es conexo. $B$ $A\subconjunto B \subconjunto \bar{A}$ $A$ $B$ $B$
Sea una familia de conjuntos conexos, cada uno de los cuales tiene una intersección no vacía con un conjunto conexo . Entonces el conjunto $\{A_{\alfa}\}$ $A$ $A\cup \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)$

también conectado. (Es decir, si una familia arbitraria de conjuntos conectados se pega a un conjunto conectado, la unión siempre permanecerá conectada).

El producto de espacios conectados es conectado. Si al menos uno de los factores está desconectado, el producto se desconectará.
Cada componente del espacio es un conjunto cerrado. Los diversos componentes del espacio no tienen puntos comunes. Los componentes conexos de un subconjunto espacial son los subconjuntos conexos máximos del conjunto . $X$ $X$ $A$ $X$ $A$
Un mapeo continuo de un espacio conectado a un espacio completamente desconectado se reduce a un mapeo a un solo punto.
Los espacios conectados localmente no necesitan estar conectados, y los espacios conectados no necesitan estar conectados localmente.
En un espacio conectado localmente, los componentes conectados están abiertos.
Cualquier espacio conexo por caminos es conexo.
- Lo contrario no es cierto; por ejemplo, el cierre de la gráfica de una función es conexo, pero no linealmente conexo (este conjunto contiene un segmento en el eje y). $\sin\tfrac1x$ $[-1,1]$

Ejemplos

Un pseudoarco es un ejemplo de un continuo completamente desconectado linealmente.
El abanico de Knaster-Kuratovsky es un ejemplo de un subconjunto tan conectado del plano que al quitarle un punto lo vuelve completamente desconectado .
El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo de conjunto conexo con respecto al cual no se sabe si es conexo por caminos.

Variaciones y generalizaciones

espacio conectado por caminos