Teorema de raíces racionales

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 22 de noviembre de 2021; las comprobaciones requieren 4 ediciones .

En álgebra , el teorema de raíces racionales (también la prueba para raíces racionales ) define un marco para las raíces racionales de un polinomio de la forma:

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

con coeficientes enteros y . $ai}$ $a_{0},a_{n}\neq 0$

El teorema establece que toda raíz racional , donde y son números coprimos , satisface la condición de que ${\ estilo de visualización x = p/q}$ $pags$ $q$

$pags$ es un divisor del término libre , $un_{0}$

$q$ es el divisor del coeficiente principal . $un$

El teorema de las raíces racionales es un caso especial del lema de Gauss .

Aplicación

El teorema se utiliza para encontrar todas las raíces racionales de un polinomio, si las hay. Con su ayuda, se determina un número finito de posibles soluciones a probar por sustitución. Si se encuentra una raíz racional , el polinomio original se puede dividir sin resto para obtener un polinomio de menor grado cuyas raíces son también las raíces del polinomio original. ${\ estilo de visualización x = r}$ ${\ estilo de visualización xr}$

Ecuación cúbica

Ecuación cúbica en forma general:

$hacha^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

con coeficientes enteros tiene tres soluciones en números complejos . Si la prueba de raíces racionales no revela ninguna, entonces la única forma de expresar soluciones es usar raíces cúbicas . Sin embargo, si se encuentra al menos una solución racional r , poner ( x - r) fuera de paréntesis conduce a una ecuación cuadrática , que se puede resolver a través del discriminante .

Prueba

Dejar:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},a_{0 },...a_{n}\en Z$ .

Supongamos que para algunos enteros coprimos y : $P(p/q)=0$ $pags$ $q$

$P\left({\frac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n- 1}\izquierda({\frac {p}{q}}\derecha)^{n-1}+...+a_{1}\izquierda({\frac {p}{q}}\derecha)+ a_{0}=0$ .

Multiplicando ambos lados de la ecuación por , quitando los paréntesis y trasladando el término libre con el signo opuesto al lado derecho de la ecuación, obtenemos: $q^{n}$ $pags$

$p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_{1}q^{n-1})=-a_ {0}q^{n}$ .

Se puede ver que es un divisor . Pero y son números coprimos, lo que significa que también debe ser un divisor . $pags$ ${\displaystyle a_{0}q^{n))$ $pags$ $q$ $pags$ $un_{0}$

Si, por el contrario, trasladamos el término principal al lado derecho de la ecuación y lo ponemos fuera de paréntesis, obtenemos: $q$

$q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})= -a_{n}p^{n}$ .

Hagamos una conclusión sobre la divisibilidad por [1] . $un$ $q$

Ejemplos

Ejemplo 1

Toda raíz racional de un polinomio

${\ estilo de visualización 2x^{3}+x-1}$

debe tener un divisor de uno en el numerador y un divisor de dos en el denominador. Por lo tanto, las posibles raíces racionales son y . Sin embargo, ninguno de ellos convierte la expresión a cero, por lo tanto, el polinomio no tiene raíces racionales. ${\ estilo de visualización \ pm {\ frac {1} {2}}}$ $\pm 1$

Ejemplo 2

Toda raíz racional de un polinomio

${\ estilo de visualización x^{3}-7x+6}$

debe tener un divisor de seis en el numerador y un divisor de uno en el denominador, de donde son las posibles raíces . De estos , y convertir la expresión a cero, siendo así las raíces del polinomio. ${\ estilo de visualización \ pm 1, \ pm 2, \ pm 3, \ pm 6}$ $una$ $2$ $-3$

Notas

↑ Arnold, Denise. Matemáticas de 4 unidades . - Melbourne: Edward Arnold, 1993. - 306 páginas p. - ISBN 0340543353 , 9780340543351.

Literatura

Miller CD, Lial ML, Schneider DI Fundamentos de álgebra universitaria . — 3ra edición. — Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 1990. — P. 216–221 . - ISBN 0-673-38638-4 .
Jones PS, Bedient JD Las raíces históricas de las matemáticas elementales . - Publicaciones de Dover Courier, 1998. - P. 116-117. — ISBN 0-486-25563-8 .
Larson R. Calculus: un enfoque aplicado . - Cengage Learning, 2007. - P. 23–24. - ISBN 978-0-618-95825-2 .