Ecuación cúbica

Una ecuación cúbica es una ecuación algebraica de tercer grado, cuya forma general es la siguiente:

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,\;a\neq 0.

Aquí los coeficientes son números reales o complejos . $a B C D$

Para analizar y resolver una ecuación cúbica, puedes dibujar una gráfica del lado izquierdo en un sistema de coordenadas cartesianas , la curva resultante se llama parábola cúbica (ver figuras).

Una ecuación cúbica general se puede reducir a una forma canónica dividiendo y cambiando la variable, como resultado se obtiene una forma simplificada de la ecuación: $a$ $x=y-{\tfrac{b}{3a}}.$

y^{3}+py+q=0,

dónde

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}= {\frac{27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{27a^{3}}}.

Una ecuación cúbica se puede resolver en radicales , véase la fórmula de Cardano .

Historia

Período antiguo

Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos egipcios, babilonios, antiguos griegos, chinos e indios [1] [2] . Se encontraron tablillas cuneiformes del período babilónico antiguo (siglo XX-XVI a. C.) que contenían tablas de raíces cúbicas y cúbicas [3] [4] . Los babilonios pueden haber usado estas tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no hay evidencia de que lo hicieran [5] .

El problema de la duplicación del cubo utiliza la más simple y antigua de las ecuaciones cúbicas, y los antiguos egipcios no creían que existiera una solución [6] . En el siglo V a.C., Hipócrates redujo este problema a encontrar dos medias proporcionales entre un segmento y otro el doble de grande que éste, pero no pudo resolverlo con regla y compás [7] , lo que, como ahora se sabe, es imposible de resolver. hacer.

En el siglo III d. C., el antiguo matemático griego Diofanto encontró soluciones racionales y enteras para algunas ecuaciones cúbicas con dos incógnitas ( ecuaciones diofánticas ) [2] [8] . Se cree que Hipócrates , Menechmus y Arquímedes estuvieron más cerca de resolver el problema de doblar el cubo usando secciones cónicas [7] , aunque algunos historiadores, como Reviel Netz, dicen que no se sabe si los griegos pensaron en ecuaciones cúbicas, o simplemente sobre problemas que pueden conducir a ecuaciones cúbicas. Otros, como Thomas Heath , traductor y comentarista de todos los trabajos existentes de Arquímedes , no están de acuerdo y señalan evidencia de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas cruzando dos conos [9] .

Los métodos numéricos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en el texto matemático chino Matemáticas en nueve libros , compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por el matemático chino Liu Hui en el siglo III [1] .

En el siglo VII durante la dinastía Tang, el astrónomo y matemático Wang Xiaotong en su tratado matemático, titulado Jigu Suanjing, planteó y resolvió 25 ecuaciones cúbicas de la forma , en 23 de las cuales , y en dos ecuaciones [10] . $x^{3}+px^{2}+qx=N$ $p,q\neq 0$ $q=0$

Edad Media

En el siglo XI, el poeta y matemático persa Omar Khayyam (1048-1131) hizo un progreso significativo en la teoría de las ecuaciones cúbicas. En sus primeros trabajos sobre ecuaciones cúbicas, descubrió que una ecuación cúbica podía tener dos soluciones (el caso de tres raíces pasó desapercibido para él [11] ), y argumentó que la ecuación no podía resolverse con un compás y una regla. También encontró una solución geométrica [12] [13] . En su obra posterior, Tratado sobre la demostración de problemas en álgebra , describió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con sus soluciones geométricas generales utilizando intersecciones de secciones cónicas [14] [15] .

En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara II intentó resolver ecuaciones cúbicas sin mucho éxito. Sin embargo, dio un ejemplo de resolución de una ecuación cúbica [16] :

{\ estilo de visualización x^{3}+12x=6x^{2}+35.}

En el mismo siglo XII, el matemático persa Sharaf al-Din escribió Al-Mu'adalat ( Tratado de ecuaciones ), que habla de ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos sin soluciones positivas. Usó lo que más tarde se conoció como el enfoque " Ruffini - Horner " para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También desarrolló el concepto de derivada de una función y extremos de una curva para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener valores positivos [17] . Entendió la importancia del discriminante de una ecuación cúbica para encontrar una solución algebraica a algunos tipos especiales de ecuaciones cúbicas [18] .

En la Europa medieval, hasta el siglo XVI, no hubo éxitos en la resolución de ecuaciones cúbicas. Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170-1250), fue capaz de encontrar soluciones positivas a una ecuación cúbica usando números babilónicos . Indicó la solución , que es igual en notación estándar y difiere de la solución exacta en solo tres trillonésimas. [19] $x^{3}+2x^{2}+10x=20$ ${\ estilo de visualización 1,22,7,42,33,4,40,}$ ${\displaystyle 1+22/60+7/60^{2}+42/60^{3}+33/60^{4}+4/60^{5}+40/60^{6))$

Luca Pacioli en su tratado "La suma de la aritmética, la geometría, las razones y las proporciones" (1494) escribió que la solución general de las ecuaciones cúbicas " es tan imposible en el estado actual de la ciencia como la cuadratura de un círculo con compás y regla " [ 20] .

Descubrimiento del Ferro-Tartaglia

A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipio del Ferro encontró un método general para resolver una clase importante de ecuaciones cúbicas, a saber, ecuaciones de la forma con n y m no negativos . De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma, si permitimos la posibilidad de que y sean negativas, pero los números negativos en ese momento aún no se consideraban aceptables. Del Ferro mantuvo su descubrimiento en secreto hasta que se lo contó a su alumno Antonio Fiore antes de su muerte. $x^{3}+mx=n$ $metro$ $norte$

En 1535, Niccolo Tartaglia recibió dos problemas en forma de ecuaciones cúbicas de Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos. Pronto recibió un desafío de Fiore para una competencia matemática, que luego de su finalización se hizo famoso. Cada uno de ellos tenía que ofrecer una cierta cantidad de problemas al oponente para que los resolviera. Resultó que todos los problemas obtenidos por Tartaglia se redujeron a ecuaciones cúbicas del tipo . Poco antes de la fecha límite, Tartaglia logró desarrollar un método general para resolver ecuaciones cúbicas de este tipo (redescubriendo el método de Del Ferro), además de generalizarlo a otros dos tipos ( y ). Después de eso, resolvió rápidamente todas las tareas que se le propusieron. Fiore, por su parte, recibió de Tartaglia problemas de varias ramas de las matemáticas, muchos de los cuales resultaron estar fuera de su alcance; como resultado, Tartaglia ganó la competencia. $x^{3}+mx=n$ ${\ estilo de visualización x ^ {3} = mx + n}$ ${\ estilo de visualización x ^ {3} + n = mx}$

Más tarde , Gerolamo Cardano (1501-1576) intentó repetidamente convencer a Tartaglia para que revelara el secreto de la resolución de ecuaciones cúbicas. En 1539 lo consiguió: Tartaglia informó de su método, pero con la condición de que Cardano no lo abriera a nadie hasta la publicación del propio libro de Tartaglia sobre ecuaciones cúbicas, en el que trabajó y donde iba a publicar el método. Seis años después, Tartaglia nunca publicó su libro, y Cardano, habiendo aprendido en ese momento sobre el trabajo de Ferro, encontró posible publicar el método de Del Ferro (con la mención del nombre de Tartaglia como quien lo descubrió de forma independiente) en su libro Ars Magna en 1545 . . Cardano se justificó prometiendo no contarle a nadie los resultados de Tartaglia, y tampoco del Ferro. Sin embargo, Tartaglia creyó que Cardano rompió su promesa y le envió un desafío a la competencia, que Cardano no aceptó. El desafío fue finalmente aceptado por el alumno de Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565), y resultó ser el ganador [21] .

Cardano notó que el método de Tartaglia a veces (es decir, cuando hay tres raíces reales) requiere sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó cálculos con estos números complejos en Ars Magna , pero realmente no entendió el problema. Rafael Bombelli estudió este problema en detalle, por lo que se le considera el descubridor de los números complejos.

François Viète (1540-1603) derivó de forma independiente una solución a una ecuación cúbica con tres raíces reales. Su solución se basó en la fórmula trigonométrica.

(2{\cdot}\cos \phi)^3-3{\cdot}(2{\cdot}\cos \phi)=2{\cdot}\cos(3{\cdot}\phi).

En particular, la sustitución da como resultado la ecuación $x=2{\cdot}a{\cdot}\cos\phi$

x^{3}-3{\cdot }a^{2}{\cdot }x=a^{2}\cdot b.

a la mente

2{\cdot}a{\cdot}\cos (3{\cdot}\phi)= b.

Posteriormente , René Descartes (1596-1650) profundizó en la obra de Vieta [22] .

Raíces de ecuaciones

El número que convierte una ecuación en una identidad se llama raíz o solución de la ecuación . También es la raíz de un polinomio de tercer grado, que está en el lado izquierdo de la notación canónica. $X$

Sobre el campo de los números complejos , según el teorema fundamental del álgebra , la ecuación cúbica

hacha^3 + bx^2 + cx + d = 0

siempre tiene 3 raíces (teniendo en cuenta la multiplicidad). $x_{1},x_{2},x_{3}$

Dado que todo polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real, todos los casos posibles de composición de raíces de una ecuación cúbica se limitan a los tres que se describen a continuación.

Estos casos se distinguen utilizando el signo discriminante :

\Delta =a^{4}{\cdot }(x_{1}-x_{2})^{2}{\cdot }(x_{1}-x_{3})^{2}{ \cdot }(x_{2}-x_{3})^{2}=

=-4{\cdot }b^{3}\cdot d+b^{2}{\cdot }c^{2}-4{\cdot }a{\cdot }c^{3}+ 18{\cdot }a{\cdot }b{\cdot }c{\cdot }d-27{\cdot }a^{2}{\cdot }d^{2}.

Tres casos son posibles:

Si entonces la ecuación tiene tres raíces reales distintas. ${\ estilo de visualización \ Delta > 0,}$
Si entonces la ecuación tiene una raíz real y un par de raíces conjugadas complejas si los coeficientes de la ecuación son números reales y no necesariamente conjugadas complejas de lo contrario. ${\ estilo de visualización \ Delta <0,}$
Si entonces al menos dos raíces coinciden. Esto puede ser cuando la ecuación tiene una raíz real doble y otra raíz real distinta de ellas; o las tres raíces coinciden, formando una raíz de multiplicidad 3. La resultante de la ecuación cúbica y su segunda derivada ayudan a separar estos dos casos : el polinomio tiene una raíz de multiplicidad 3 si y solo si la resultante indicada también es igual a cero . ${\ estilo de visualización \ Delta = 0,}$

Según el teorema de Vieta, las raíces de la ecuación cúbica están relacionadas con los coeficientes por las siguientes relaciones [23] : $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ $a B C D$

x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac{b}{a}},

x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}},

x_{1}\,x_{2}\,x_{3}=-{\frac {d}{a}}.

Al dividir estas proporciones entre sí, puede obtener varias proporciones más:

{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+{\frac {1}{x_{3}}}=-{\frac {c}{ d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}}}+{\frac {1}{x_{2}x_{3}}}+{\frac {1}{x_{1} x_{3}}}={\frac {b}{d}},\quad d\neq 0,

{\frac {1}{x_{1}x_{2}x_{3))}=-{\frac {a}{d)),\quad d\neq 0.

Métodos de solución

Métodos generales de solución exacta:

Para algunos tipos especiales de ecuaciones cúbicas, existen métodos especiales para resolverlas. Ver por ejemplo:

También puede aplicar métodos numéricos para resolver ecuaciones .

Sustitución Vieta

Como se mencionó anteriormente, cualquier ecuación cúbica se puede reducir a la forma:

t^{3}+punto+q=0,

Hacemos una sustitución conocida como la sustitución de Vieta:

t=w-{\frac{p}{3w}}

Como resultado, obtenemos la ecuación:

w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.

Multiplicando por , obtenemos la ecuación de sexto grado de , que, de hecho, es una ecuación cuadrática de : ${\ estilo de visualización w^{3))$ $w$ ${\ estilo de visualización w^{3))$

w^{6}+qw^{3}-{\frac{p^{3}}{27}}=0

Resolviendo esta ecuación, obtenemos . Si y son tres raíces cúbicas , entonces las raíces de la ecuación original se pueden obtener mediante las fórmulas ${\ estilo de visualización w^{3))$ $w_{1}$ ${\ estilo de visualización w_ {2}}$ ${\ estilo de visualización w_ {3))$ ${\ estilo de visualización w^{3))$

t_{1}=w_{1}-{\frac {p}{3w_{1}}},\quad t_{2}=w_{2}-{\frac {p}{3w_{2}}}\ patio

\quad t_{3}=w_{3}-{\frac {p}{3w_{3))}.

La decisión de Omar Khayyam

Como se muestra en el gráfico, para resolver la ecuación de tercer grado , Omar Khayyam construyó un círculo de parábola , cuyo diámetro es un segmento del semieje positivo , y una línea vertical que pasa por la intersección de la parábola y el círculo. La solución está determinada por la longitud del segmento horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical con el eje . $x^{3}+a^{2}x=b$ $b>0,$ $y={\frac{x^{2}}{a)),$ $\left[0,{\frac {b}{a^{2}}}\right]$ $X$ $X$

Una prueba de construcción simple y moderna: multiplicar por la ecuación y agrupar los términos $X$

{\frac {x^{4}}{a^{2}}}=x\,\left({\frac {b}{a^{2}}}-x\right)\,.

El lado izquierdo es el valor de la parábola. La ecuación de un círculo, coincide con el lado derecho de la ecuación y da el valor en el círculo. $y^{2}$ $y^{2}+x\,\left(x-{\frac {b}{a^{2}}}\right)=0,$ $y^{2}$

Véase también

Notas

↑ 1 2 John Crossley, Anthony W.-C. lunes Los nueve capítulos sobre el arte matemático: compañero y comentario. - Oxford University Press, 1999. - Pág. 176. - ISBN 978-0-19-853936-0 .
↑ 12Van der Waerden . Geometría y Álgebra de las Civilizaciones Antiguas . - Zurich, 1983. - Pág. capítulo 4. - ISBN 0-387-12159-5 .
↑ Roger Cooke. La Historia de las Matemáticas. - John Wiley & Sons, 2012. - Pág. 63. - ISBN 978-1-118-46029-0 .
↑ Karen Rhea Nemet-Nejat. Vida cotidiana en la antigua Mesopotamia. - Greenwood Publishing Group, 1998. - Pág. 306. - ISBN 978-0-313-29497-6 .
↑ Roger Cooke. Álgebra clásica: su naturaleza, orígenes y usos. - John Wiley & Sons, 2008. - Pág. 64. - ISBN 978-0-470-27797-3 .
↑ Guilbeau, 1930 afirma que "los egipcios pensaron que la solución era imposible, pero los griegos se acercaron más a la solución".
↑ 1 2 Guilbeau, 1930
↑ Thomas L.Heath. Diofanto de Alejandría: un estudio de la historia del álgebra griega. - Pub Martino, 2009. - ISBN 978-1578987542 .
↑ Arquímedes (traducción de TL Heath). Las obras de Arquímedes. - Borrador de impresión, 2007. - ISBN 978-1603860512 .
↑ Yoshio Mikami. El desarrollo de las matemáticas en China y Japón. — 2ª ed. - Nueva York: Chelsea Publishing Co., 1974. - S. 53-56. - ISBN 978-0-8284-0149-4 .
↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 225.
↑ Trabajo de Omar Khayyam, Scripta Math. 26 (1963), págs. 323-337
↑ O'Connor and Robertson's Omar Khayyam, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, puede leerse Este problema llevó a Khayyam a la ecuación cúbica x 3 + 200 x = 20 x 2 + 2000 , y encontró una raíz positiva de esta ecuación como la intersección de una hipérbola isósceles y un círculo. Luego se encontró una solución numérica aproximada interpolando tablas trigonométricas .
↑ JJ O'Connor y E.F. Robertson (1999), Omar Khayyam Archivado el 1 de marzo de 2012 en Wayback Machine , MacTutor Archives for the History of Mathematics afirma, "Khayyam parece haber sido el primero en pensar en la teoría general de la teoría cúbica ecuaciones".
↑ Guilbeau, 1930 afirma: "Omar Al Hay Khorasan alrededor de 1079 hizo mucho para avanzar en los métodos para resolver ecuaciones algebraicas mediante la intersección de secciones cónicas".
↑ Datta, Singh. Historia de las matemáticas hindúes. - Delhi, India, 2004. - S. 76,. — ISBN 81-86050-86-8 . página 76, Ecuación de Grado Superior; Bharattya Kala Prakashan
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Literatura

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Guilbeau, Lucye (1930), The History of the Solution of the Cubic Equation , Mathematics News Letter vol.5 (4): 8–12 , DOI 10.2307/3027812

Enlaces

Solución detallada en línea de una ecuación cúbica

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