Teorema de la suma del producto

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El teorema de la suma del producto es un teorema de la combinatoria aritmética que establece la falta de estructura de cualquier conjunto suficientemente grande con respecto a al menos una de las operaciones de campo (suma y multiplicación). Como indicador de estructuración se utilizan los tamaños del conjunto de sumas y del conjunto de productos, respectivamente.

Redacción

Sea un subconjunto de algún anillo (generalmente un campo , pero formalmente también se puede considerar un anillo) con operaciones y . Se consideran dos derivadas del conjunto: $A\subconjunto {\mathbb {F} }$ ${\mathbb{F} }$ ${\mathbb{F} }$ $+$ $\cdot$ $A$

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Si el conjunto está estructurado con respecto a la suma (por ejemplo, tiene muchas progresiones aritméticas, o progresiones aritméticas generalizadas, o sus piezas grandes), entonces el conjunto será relativamente pequeño; después de todo, las sumas de muchos pares de elementos coincidirán . $A$ ${\ estilo de visualización A + A}$

Si está estructurado con respecto a la multiplicación, entonces el conjunto no será muy grande , por razones similares. $A$ $A\veces A$

El teorema establece que al menos uno de los conjuntos y es muy grande con respecto a , es decir, con respecto a al menos una de las operaciones, la estructura será irregular. ${\ estilo de visualización A + A}$ $A\veces A$ $A$

Más específicamente, el teorema establece un crecimiento de ley de potencia en el tamaño del mayor de los conjuntos derivados en relación con el tamaño del original:

Teorema

Para alguna constante y un conjunto arbitrario (para uno finito , con restricciones en el tamaño), es cierto que $\delta =\delta ({\mathbb {F} })>0$ $A\subconjunto {\mathbb {F} }$ ${\mathbb{F} }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{1+\delta }

Para diferentes anillos, es posible obtener estimaciones con diferentes . Además, para algunos (especialmente para anillos finitos ), es posible agregar condiciones sobre el tamaño del conjunto bajo el cual se cumple el teorema para el dado . $\delta$ $A$ $\delta$

Casos de borde

Los más convenientes para estudiar son los casos extremos de la hipótesis:

pocas sumas, muchos productos (FSMP) : si entonces [1] $|A+A|\ll |A|$ ${\displaystyle |AA|\geq |A|^{2-o(1)))$

pocos productos, muchas sumas (FPMS) : si , entonces [2] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |A+A|\geq |A|^{2-o(1)))$

Ejemplos

Los ejemplos clásicos para ilustrar el teorema de la suma del producto son la progresión aritmética y la progresión geométrica . $A=\left\lbrace {1,\dots,n}\right\rbrace$ $B=\left\lbrace {1,2,4,\dots,2^{n-1}}\right\rbrace$

Una progresión aritmética está ordenada al máximo con respecto a la suma, por lo que , sin embargo, se pueden hacer muchos productos diferentes a partir de sus números, por lo que [3] , por lo que, con respecto a la multiplicación, está completamente desordenada. ${\ estilo de visualización | A + A | <2 | A |}$ $|A\times A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)$

De la misma manera, para una progresión geométrica, , pero es obvio (si consideramos la representación binaria de los números) que . ${\ estilo de visualización | B \ veces B | <2 | B |}$ ${\ estilo de visualización | B + B | = \ Omega (| B | ^ {2})}$

Resultados

Para números reales

Cuando el teorema de suma-producto a veces también se denomina teorema de Erdős-Szemeredi , ya que fueron ellos quienes en 1983 plantearon la cuestión de considerar la relación de los números de sumas y productos. En el mismo trabajo, plantean la hipótesis de que el valor puede ser arbitrariamente cercano a la unidad (es decir, ). Sin embargo, en el mismo artículo plantean varias hipótesis más, en concreto, una similar para términos y conjuntos: . ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $\varepsilon$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1)))$ $k$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{ko(1)))$

Cronología de la mejora en la valoración $\delta$ ${\displaystyle \max\{\|A+A\|,\|AA\|\}\geq \|A\|^{1+\delta -o(1)},\A\subconjunto {\mathbb {R} ))$
Año	Sentido $\delta$	Los autores)
1983	${\ estilo de visualización 1/31}$ ()(*)	Erdős , Szemeredy [4] ${\ estilo de visualización 1+ \ delta}$ en vez de ${\ estilo de visualización 1+ \ delta -o (1)}$
1998	${\ estilo de visualización 1/15}$ ()(*)	Ford [5]
1997	$1/4$ (**)	Elekesh [6]
2005	${\ estilo de visualización 3/11}$	Shoimoshi [7]
2009	$1/3$	Shoimoshi [8]
2015	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\aprox. 0,333381...$	Konyaguin , Shkrédov [9]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\aprox. 0,333842...$	Konyaguin , Shkrédov [10]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\aprox. 0,333996...$	Rudnev, Shkrédov, Stevens [11]
2019	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\aprox. 0,334280...$	Shakán [12]
2020 (preimpresión)	${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\aprox. 0,335047...$	Rudnev, Stevens [13]
() Solo para (*) Verdadero para grado en lugar de $A\subconjunto {\mathbb {Z} }$ ${\ estilo de visualización 1+ \ delta}$ ${\ estilo de visualización 1+ \ delta -o (1)}$

Para campos de residuos modulo

Terence Tao en su monografía señala que el problema de obtener un análogo del resultado de Erdős y Szemeredy en campos fue planteado en 1999 por T. Wolf (en una conversación privada) para subconjuntos de cardinalidad de orden . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {F} }_{p))$ $p^{1/2}$

El problema de la suma del producto fue resuelto por Burgain , Glibbichuk y Konyagin y Burgain, Katz y Tao. Demostraron el siguiente teorema ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Para cualquier existe tal que si y , entonces la estimación $\varepsilon >0$ ${\ estilo de visualización \ delta = \ delta (\ varepsilon)> 0}$ ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {F} }_{p))$ $|A|<p^{1-\varepsilon}$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace \geq |A|^{1+\delta }

En la condición del teorema, el requisito es natural, ya que si tiene un orden cercano a , entonces ambas cantidades y serán cercanas a . [catorce] $|A|<p^{1-\varepsilon}$ $|A|$ $pags$ ${\ estilo de visualización | A + A |}$ $|A\veces A|$ $|A|$

Para anillos arbitrarios

Terence Tao investigó los límites de la posibilidad de generalizar el teorema a anillos arbitrarios y, en particular, la conexión de los casos extremos de valores pequeños de y con el número de divisores de cero en un conjunto y la proximidad de su estructura a un subanillo _ [quince] ${\ estilo de visualización | A + A |}$ $|A\cdot A|$ $A$

Métodos de prueba

Para números reales

Primera evidencia

La prueba de Erdős y Szemeredi utilizó el hecho de que para pequeños y existe una solución para el sistema ${\ estilo de visualización | A + A |}$ $|A\veces A|$

{\begin{casos}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\ ,\ fin {casos}}

donde pertenecen a algunos (diferentes) subconjuntos y se imponen condiciones especiales al propio conjunto. Usando tal declaración como un lema, también se puede probar el teorema para un conjunto arbitrario . [dieciséis] $bi}$ $A$ $A$ $A$

El teorema de Semeredi-Trotter (Elekesh, 1997)

Si todos los elementos tienen muchas representaciones en la forma de algunos conjuntos pequeños , entonces para estimar el número de soluciones a la ecuación $a \ en A$ ${\displaystyle a=p_{1}p_{2},\ p_{1}\en \Pi _{1},\ p_{2}\en \Pi _{2))$ ${\ estilo de visualización \ Pi _ {1} \ Pi _ {2}}$

a+b=c,\ a\en A,\ b\en B,\ c\en C\ .

con cualquier conjunto , puedes usar la ecuación $ANTES DE CRISTO$

p_{1}p_{2}+b=c,\ p_{1}\en \Pi _{1},\ p_{2}\en \Pi _{2},\ b\en B, \c\en C\ .

Por otra parte, las soluciones de tal ecuación corresponden a incidencias entre rectas, que se parametrizan por pares , y puntos, que se parametrizan por pares . Por tanto, para estimarlos resulta conveniente utilizar resultados generales sobre incidencias, el mejor de los cuales es el teorema de Szemeredy-Trotter . [17] [18] ${\ estilo de visualización (p_ {1}, b)}$ ${\ estilo de visualización (p_ {2}, c)}$

Esto es exactamente lo que usó Elekesh para probar el teorema del exponente . [6] Implícitamente, su prueba se puede dividir en dos etapas: ${\ estilo de visualización \ delta = {\ frac {1} {4}}}$

análisis de ecuaciones (trivial, vía expansión ) $a+b=c,\a\en A,b\en B,c\en C$ ${\ estilo de visualización \ Pi _ {1}: = AA, \ \ Pi _ {2}: = 1/A}$

aplicación de estimaciones obtenidas (trivial, por ) ${\ estilo de visualización B: = A, \ C: = A + A}$

Esta descomposición es importante para comprender los métodos posteriores .

La construcción de Shoimoshi (Shoimoshi, 2009)

Shoimoshi usó el hecho de que si , entonces ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .

De esto se sigue que si , entonces ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3 }}}$

{\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+ b_{3}}}\ .

A su vez, para valores fijos , todos los pares formados por representaciones $\lambda \en A/A,\ \mu \en A/A$ ${\ estilo de visualización (a + c, b + d)}$

\lambda ={\frac {a}{b)),\ \mu ={\frac {c}{d)),\ a,b,c,d\in A

será diferente, por lo tanto, sumándolos sobre pares "vecinos" , podemos obtener una estimación de en términos del número de tales representaciones. Y ésta, a su vez, se expresa (indirectamente) a través de . [19] ${\ estilo de visualización (\ lambda, \ mu)}$ ${\ estilo de visualización | A + A |}$ ${\ estilo de visualización | AA |}$

Esta idea se puede expresar más claramente geométricamente, como la suma de puntos que se encuentran en líneas adyacentes que emanan del centro de coordenadas. $A\veces A$

Desglose de la construcción de Shoimoshi (Konyagin, Shkredov, 2015)

Si se elimina de la construcción de Shoimoshi la condición de que los puntos sumados deben pertenecer a líneas vecinas, nada garantizará que todas las sumas resultantes sean diferentes. Por ejemplo, en general, todas las sumas de puntos de pueden ser diferentes solo en el caso extremo , y ya satisface la hipótesis del producto de la suma. $A\veces A$ $|A+A|\gg |A|^{2}$

Con base en esto, Konyagin y Shkredov estimaron el número mínimo de coincidencias de tales sumas en el caso intermedio (cuando y son iguales a la estimación más baja, es decir, ). Para estimar la cantidad de coincidencias, dividieron todas las líneas en bloques del mismo número de consecutivas y estimaron la cantidad de coincidencias en cada bloque para la mayoría de ellas. Usando estas estimaciones, obtuvieron un resultado con . [veinte] ${\ estilo de visualización | A + A |}$ ${\ estilo de visualización | AA |}$ ${\ estilo de visualización | A | ^ {4/3}}$ $\delta >{\frac {1}{3}}$

Expansión multiplicativa no trivial (Rudnev y Stevens, 2020)

La coincidencia de las dos sumas de puntos consideradas por Konyagin y Shkredov significa que existe una solución al sistema de ecuaciones.

{\begin{casos}\lambda_{1}a_{1}+\lambda_{2}a_{2}=\lambda_{3}a_{3}+\lambda_{4}a_{ 4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\ ,\end{casos}}

donde tanto todos como los pares son diferentes. Al reducir el sistema según el método de Gauss (en un solo paso), se puede obtener la ecuación $(a_{i},\lambda_{i}a_{i})\en A\times A$ $\lambda _{i}$ ${\ estilo de visualización (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}), (\ lambda _ {3}, \ lambda _ {4})}$

{\displaystyle a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2))

con constante y las mismas condiciones en . Rudnev y Stevens aplicaron esto para construir explícitamente una expansión multiplicativa de un gran subconjunto con mejores propiedades que la trivial. [21] $c_1, c_2$ $a_{1},a_{2}$ $A$

Por analogía con la prueba de Elekesh , esto nos permite dividir la prueba de estimaciones con exponente en dos pasos: $\delta ={\frac{1}{3}}+c$

aplicación de una nueva expansión multiplicativa;

una aplicación no trivial de la ecuación para estimar . [22] ${\ estilo de visualización ab = c}$ ${\ estilo de visualización | A + A |}$

Uso de energías superiores

La forma más popular de usar ecuaciones para estimar es usar energía aditiva y sus generalizaciones. Los resultados de aplicar el teorema de Szemeredy-Trotter permiten analizar mejor las ecuaciones de la forma ${\ estilo de visualización | A + A |}$

E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\en A ^{3}\veces D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}

por arbitrario . Rudnev y Stevens propusieron un método para explotar esta energía aditiva considerando la ecuación $D$

d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\en A,\ d\en D\ ,

donde corresponde al conjunto de diferencias populares (con gran número de representaciones), y pertenece al conjunto de sumas populares. Además del problema de los productos de suma, el desarrollo de tales métodos es relevante para estimar las sumas de secuencias convexas . [23] $D$ $a+b$

Hay un método de operador similar, que es menos eficiente para estimar , pero te permite estudiar mejor la relación entre y . [24] ${\ estilo de visualización | A + A |}$ ${\ estilo de visualización E (A)}$ ${\ estilo de visualización | AA |}$

Para campos simples

Al demostrar el teorema de , se utilizan ampliamente la noción de energía aditiva , la desigualdad de Plünnecke-Rouge y las estimaciones de Balogh-Szemeredi-Gowers. Una prueba posible usa un límite inferior en el tamaño del conjunto y el hecho de que de los límites superiores en los tamaños y sigue un límite superior inferior contradictorio en el tamaño . [25] [26] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ $R(A)=A\left({{\frac {A\times AA\times A}{AA))+A}\right)$ ${\ estilo de visualización A + A}$ $A\veces A$ ${\ estilo de visualización R (A)}$

Aplicaciones

Bourgain , Glibichuk y Konyagin [27] utilizaron un caso particular del teorema para estimar sumas trigonométricas multilineales . Esto, en particular, hizo posible obtener límites superiores no triviales para las sumas de Gauss sobre pequeños subgrupos multiplicativos . [28] Bourgain, Katz y Tao , utilizando el mismo caso, reforzaron la estimación en el problema de Szemeredy-Trotter en , demostrando que para un conjunto de pares para un conjunto de puntos de y líneas para , la estimación se cumple para algunos . [29] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={ \Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert}$ $G\subconjunto {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ $I=\left\lbrace {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rbrace$ $PAGS$ $\left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}$ $L$ ${\ estilo de visualización | P | = | L | = n}$ $|I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon}$ $\varepsilon >0$

En el mismo trabajo, aplicaron el teorema para investigar conjuntos de Kakeyi en espacios de alta dimensión . Para el tamaño de dicho conjunto, obtuvieron una estimación . [26] [29] ${\displaystyle ({\mathbb {F} }_{p})^{d))$ $|S|>p^{{\frac{d}{2}}+1+10^{-10}}$

Límites de posible mejora de la hipótesis

En el mismo artículo en el que Erdős y Szemeredi plantearon la hipótesis de , también presentaron un ejemplo de construcción de un conjunto arbitrariamente grande para el cual . El conjunto de números obtenidos como producto de no más que números primos (no necesariamente diferentes) sirvió como tal conjunto , cada uno de los cuales no excede , donde es un número suficientemente grande arbitrario. [dieciséis] $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }$ $A\subconjunto {\mathbb {Z} },\ \delta >0$ $A$ ${\displaystyle |A+A|+|A\times A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|))))$ $2\izquierda\lpiso {\frac {\log x}{6\log \log x))\derecha\rpiso$ ${\ estilo de visualización (\ registro x) ^ {3))$ $X$

Generalizaciones

Para una combinación de operaciones

Bourgain y Chang consideraron estimaciones de la forma

\max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{ b(k)}

para un arbitrario y . [treinta] $k$ $b(k)\to \infty$

En muchos trabajos, la suma y la multiplicación se combinan en una expresión : por ejemplo, se obtienen cotas inferiores incondicionales para . [31] ${\ estilo de visualización | AA + AA |}$

Para un conjunto de pares de términos/factores

Una de las generalizaciones de la conjetura es la cuestión de sumas y productos correspondientes a las aristas de un gráfico arbitrario sobre los elementos de un conjunto.

Sea un gráfico, , . Denotar y por las igualdades ${\ estilo de visualización G = (A, E)}$ $E\subconjunto A\times A$ ${\ estilo de visualización | A | = n}$ $C$ $\delta$

${\ estilo de visualización | E | = n ^ {1 + c}}$

${\displaystyle \max\{|A+_{G}A|,|A\cdot _{G}A|\}=n^{1+\delta ))$ , donde , $A+_{G}A:=\{a+b:(a,b)\en E\}$ ${\displaystyle A\cdot _{G}A:=\{ab:(a,b)\in E\))$

¿Cómo los valores de y dependen unos de otros ? $C$ $\delta$ $|A|\hasta \infty$

En contraste con el caso , puede que no haya un crecimiento extremo ni de las sumas ni de los productos: en , la situación es posible cuando [32] . Por lo tanto, además de los límites inferiores, la cuestión de los límites superiores para . Sin embargo, también se estudian los límites inferiores. [33] [34] $G=A\veces A$ ${\ estilo de visualización c <1}$ ${\ estilo de visualización \ delta <c}$ $\max\{|A+A|,|AA|\}$

Para estimar las energías

Los límites inferiores del tamaño del conjunto de sumas se pueden derivar fácilmente de los límites superiores de la energía aditiva , por lo que es natural generalizar la hipótesis sobre la primera a la hipótesis sobre la segunda, utilizando un concepto similar de energía multiplicativa .

Pero un conjunto de números bien puede tener ambas energías grandes al mismo tiempo, ya que la estimación más baja puede controlarse mediante la contribución de un subconjunto separado. Por ejemplo, si , entonces para un conjunto es cierto que ${\displaystyle E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times}(A_{2})\gg |A|^{3))$ $A=A_{1}\taza A_{2}$

\min\{E^{+}(A),E^{\times}(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}),E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .

Por lo tanto, al formular el teorema de la energía correspondiente, se utiliza la relación de las energías de diferentes subconjuntos .

Teorema de Balogh-Wooly

Existe una constante tal que para cualquier conjunto existe una partición con la condición $\delta>0$ $A\subconjunto {\mathbb {R} }$ $A=B\sqcup C$

{\displaystyle E^{+}(B)\leq |A|^{3-\delta },\ E^{\times}(C)\leq |A|^{3-\delta ))

La mejor versión de este teorema ha sido probada para . [12] Se sabe que no ocurre lo mismo con . [35] $\delta ={\frac {7}{26}}-o(1)$ $\delta >{\frac{2}{3}}$

Para funciones convexas arbitrarias

La multiplicación de dos números se puede representar en función de la suma de sus logaritmos: . La aplicación elemento a elemento de una función estrictamente creciente a un conjunto no cambia su tamaño, por lo que $ab=\exp(\log a+\log b)$

|AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|

y la hipótesis básica de la suma del producto se puede reformular como

{\displaystyle \max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)))

o (sustituyendo ) como $A:=\log A$

\max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .

Resulta que se pueden probar estimaciones similares para una función convexa arbitraria en lugar de . ${\ estilo de visualización \ exp}$

Teorema [36]

Si es un conjunto arbitrario, es una función estrictamente convexa arbitraria, entonces $A\subconjunto {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} ))$

{\displaystyle \max\{|AA|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{14/11-o(1)))

{\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{24/19-o(1)))

Queda abierta la cuestión de si las mismas estimaciones con el indicador del lado derecho son correctas. ${\ estilo de visualización 2-o (1)}$

También se obtuvieron resultados similares para un mayor número de términos. [37]

Literatura

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Notas

↑ Resuelto en Elekes, Ruzsa, 2003
↑ Murphy, Rudnev, Shkredov, Shteinikov , 2019 obtuvieron mejores resultados que en el caso general
↑ Fuente . Consultado el 21 de enero de 2018. Archivado desde el original el 22 de enero de 2018. (indefinido)
↑ El primer artículo de Erdös, Szemerédi, 1983 no especificó el significado de , pero solo probó la existencia de . Sin embargo, seguir directamente el razonamiento de ese trabajo muestra que es correcto para . Este valor se menciona explícitamente más adelante en Nathanson, 1997 $\delta$ ${\ estilo de visualización \ delta = 1/31}$
↑ Vado, 1998 .
↑ 12 Elekes , 1997 .
↑ Solimosi, 2005 .
↑ Solimosi, 2009 .
↑ Konyaguin, Shkredov, 2015 .
↑ Konyagin, Shkrédov, 2016 .
↑ Rudnev, Shkrédov, Stevens, 2020 .
↑ 12 Shakan , 2019 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 .
↑ Garaev, 2010 , pág. 1-2.
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↑ 1 2 Erdös, Szemeredi, 1983 .
↑ Véase Rudnev y Stevens, 2020 , Lema 3
↑ De manera similar, la descomposición se puede usar para el análisis . Véase Rudnev y Stevens, 2020 , Lema 4. ${\displaystyle a=p_{1}-p_{2},\ p_{1}\en \Pi _{1},\ p_{2}\en \Pi _{2))$ $E^{\times}(A)$
↑ Véase Solymosi, 2009 , fórmula (2).
↑ Véase Konyagin y Shkredov, 2015 , prueba del Lema 10
↑ Ver Rudnev y Stevens, 2020 , p. 10 (después de la sugerencia 1)
↑ Si es trivial aplicar estas estimaciones, de la misma manera que para Elekesh, entonces el resultado será $\delta ={\frac {1}{3}}$
↑ Ver Rudnev, Stevens, 2020 , Teorema 5, especialmente fórmula (25)
↑ Ver Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2020 , teorema 2
↑ Garaev, 2010 , pág. 14-25.
↑ 1 2 Mini curso de combinatoria aditiva Archivado el 29 de agosto de 2017 en Wayback Machine , notas de conferencias de la Universidad de Princeton
↑ J. Bourgain, A. A. Glibichuk, S. V. Konyagin, "Estimaciones del número de sumas y productos y de sumas exponenciales en campos de orden primo", J. London Math. soc. (2), 73:2 (2006), 380-398. . Consultado el 21 de enero de 2018. Archivado desde el original el 22 de enero de 2018. (indefinido)
↑ Garaev, 2010 , pág. 7-9.
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↑ Bourgain, Chang, 2004 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 , teorema 2
↑ Alon, Ruzsa, Solymosi, 2020 , Teorema 3
↑ Alon, Ángel, Benjamini, Lubetzky, 2012 , investigación 4
↑ Shkredov, Solymosi, 2020 , teorema 3
↑ Balog, Wooley, 2017 , Teorema 1.2
↑ Li, Roche-Newton, 2012 , Teoremas 1.1, 1.2
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , teorema 1.4