Combinatoria aritmética

La combinatoria aritmética es un área interdisciplinar de las matemáticas que estudia la relación entre estructuras formadas en un campo (más raramente, en un anillo ) por la operación de suma y la operación de multiplicación.

El enfoque del concepto de estructura aquí es similar a la combinatoria aditiva y se basa principalmente en el tamaño del conjunto de sumas (o productos), energía aditiva (o multiplicativa) y sus diversas combinaciones. Como campo se suelen considerar los números reales o racionales ( , ) y los residuos módulo primo ( ). ${\mathbb{R} }$ ${{\matemáticas Q}}$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Ambigüedad de la terminología y el tema del artículo

La combinatoria aditiva y aritmética son ciencias jóvenes en desarrollo activo. Sus métodos y formas de plantear problemas son muy similares, por lo que, por regla general, la combinatoria aditiva se considera parte de la aritmética. [1] Este artículo describe únicamente temas que contienen tanto operaciones de campo de una forma u otra como sus inversas, es decir, que no pertenecen a la combinatoria puramente aditiva (aunque esta última constituye una parte bastante importante de la aritmética).

Además, no se tocan aquí cuestiones sobre las propiedades aditivo-combinatorias de los subgrupos multiplicativos y conjuntos relacionados, ya que, aunque su definición está relacionada con la multiplicación, su estructura multiplicativa está rígidamente fijada, y el componente combinatorio de esta ciencia implica una u otra generalidad en cuanto al grado de estructura (al menos con un parámetro actuando como una constante). ${\mathbb {F} }_{p}^{*}$

Motivación

El desarrollo de la combinatoria aritmética estuvo motivado en gran medida por la aparición del teorema de la suma-producto , que habla del indispensable crecimiento de los conjuntos a partir de aplicarle ya sea la suma combinatoria o la multiplicación, es decir, una de dos operaciones:

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

De aquí se sigue que la combinación de estas operaciones también implica crecimiento: si , entonces $\{0,1\}\subconjunto A$

|A(A+A)|\gg \max\{|A(A+0)|,|1(A+A)|\}=\max\{|AA|,|A+A| \}

y la adición de un número finito de elementos afecta el crecimiento solo marginalmente. Dado que el teorema de la suma del producto solo se ha demostrado en una forma débil (lejos de ser una hipótesis), algunos científicos se han interesado en obtener afirmaciones de este tipo que se derivarían de formas más sólidas de la hipótesis que las probadas y, posteriormente, en estudiar en general la relación entre los resultados de diferentes combinaciones de dos campos de operaciones. $A$

Por ejemplo, la conjetura de la suma del producto de Erdős-Szemeredy establece que [2]

{\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ \forall A\subset {\mathbb {R} ))

De esta hipótesis se deduciría que , pero para conjuntos , tal resultado se puede obtener fácilmente sin él mediante un simple razonamiento combinatorio. [3] ${\displaystyle |AA+A|\geq |A|^{2-o(1)))$ $A\subconjunto {\mathbb {N} }$

Tareas y resultados

Esta sección utiliza notación convencional para describir los resultados (explicados en notación O ):

${\ estilo de visualización X \ ll Y}$ significa que ${\ estilo de visualización X = O (Y)}$

$X\lesssim Y$ significa que $X\leq (\log |A|)^{O(1)}Y$

Expresiones racionales

Enunciado de la pregunta

Sea una expresión racional sobre conjuntos cualquier combinación de operaciones aritméticas ( ) entre ellos. La operación aquí significa la aplicación según el principio de sumas múltiples: ${\displaystyle A_{1},\puntos,A_{k))$ $+,-,\veces,/$

{\displaystyle A\circ B=\{a\circ b\ :\a\in A,\b\in B\))

Por ejemplo, los siguientes conjuntos son expresiones racionales sobre : $A B C$

los propios conjuntos ; ${\ estilo de visualización A, \ B, \ C}$

${\displaystyle A(AA)=\{a(bc)\ :\ a,b,c\in A\))$ es una expresión racional sobre ; $A$

${\displaystyle A+BC=\{a+bc\ :\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\))$ .

Por analogía con la energía aditiva, que a menudo se usa para estimar un conjunto de sumas, es conveniente considerar el número de soluciones de una ecuación simétrica con una expresión racional. Por ejemplo,

E_{AB+C}=\#\{(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2})\en A^{ 2}\veces B^{2}\veces C^{2}|:\ a_{1}+b_{1}c_{1}=a_{2}+b_{2}c_{2}\}

[cuatro]

Una parte esencial de los problemas de la combinatoria aritmética puede expresarse mediante la siguiente formulación de la pregunta.

Sea — algún campo (ya sea infinito o suficientemente grande de una familia dada de finitos), — expresiones racionales, y al menos una de ellas usa o y al menos una o . ${\mathbb{F} }$ ${\displaystyle R_{1},\puntos,R_{n))$ $+$ $-$ $\cdot$ $/$

Vamos también para algunos y establece las relaciones $norte$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}\subconjunto {\mathbb {F} ))$

|A_{j}|=N^{\alpha _{j)),\ j=1,\puntos,k

|R_{i}(A_{1},\puntos, A_{k})|=N^{\beta _{i)),\ i=1,\puntos,n

E_{R_{i}(A_{1},\dots, A_{k})}=N^{\gamma _{i)),\ i=1,\dots,n

Pregunta

¿Cómo depende el conjunto de valores posibles de ? $N\to\infty$ ${\ estilo de visualización (\ alfa _ {1}, \ puntos, \ alfa _ {k}, \ beta _ {1}, \ puntos, \ beta _ {k}, \ gamma _ {1}, \ puntos, \ gamma _{norte})}$ ${\displaystyle {\mathbb {F} },R_{1},\dots,R_{n))$

Nota

Si el campo es finito, entonces es apropiado complementar el conjunto con el parámetro , donde . [5] ${\ estilo de visualización (\ alfa _ {1}, \ puntos, \ gamma _ {n})}$ $\varepsilon$ ${\displaystyle N=|{\mathbb {F} }|^{\varepsilon))$

Por ejemplo, la hipótesis de la suma del producto establece que si , , , entonces (aquí ). ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $R_{1}(A)=A+A$ $R_{2}(A)=A\cdot A$ $\max\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}=2$ ${\ estilo de visualización k = 1, \ n = 2}$

Por regla general, resulta derivar relaciones lineales entre cantidades , es decir, desigualdades entre productos y potencias de diferentes cantidades . ${\ estilo de visualización \ alfa _ {1}, \ puntos, \ gamma _ {n}}$ $|A_{j}|,\ |R_{i}(A_{1},\puntos, A_{k})|,\ E_{R_{i}(A_{1},\puntos,A_{ k})}$

Algunos resultados

Sobre la generalización de sumas y productos:

\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+AA+AA+AA|\geq {\frac {1}{2}}|A|^{2}

[6]

\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}:|A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A-A+AA)+A(AA)|\geq |A|^{2}

[7]

\exists c>0:\ \forall B,C\subset {\mathbb {R} }:\ |(B+C)(B+C)|\geq |B+C|^{1+c }

[8] ;

\exists c>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+A|\geq |A|^{{\frac {3}{2}}+c}

[9] ;

\existe c_{1},c_{2}>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |A+A|\leq |A|^{1+c_{1} }\flecha derecha |AAA|\geq |A|^{2+c_{2}}

[diez]

{\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |(AA)(AA)(AA)|\gtrsim |A|^{2+{\frac {1}{8))))

[once]

Sobre la generalización de las energías:

${\displaystyle E_{A+B}^{2}\leq |A/B|E_{(A+B)/B))$ [12]

para cualquiera si , entonces , y para [13] $k\in {\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\geq p^{c(k)))$ $E_{(AA)^{k}}\sim {\frac{|A|^{4k}}{p}}$ $c(k)\a {\frac {1}{2))$ $k\to\infty$

Turnos

Enunciado de la pregunta

La idea de evaluar expresiones racionales que combinan diferentes operaciones surge del hecho de que aplicar una operación aditiva a un conjunto lo despoja de su estructura multiplicativa. El mismo principio se puede extender al caso en que el conjunto se cambia no por una operación combinatoria compleja de suma elemento por elemento, sino por un cambio aditivo ordinario, agregando un número a todos los elementos del conjunto. Se espera que esto cambie la estructura multiplicativa del conjunto en la mayoría de los casos (por ejemplo, si , entonces para algunos para todos o casi todos ). [catorce] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |(A+d)(A+d)|\gg |A|^{1+c))$ $c>0$ $d$

Pregunta

En cuanto a las propiedades multiplicativas fijas (pero arbitrarias) (el tamaño del conjunto de productos y la energía multiplicativa) de los conjuntos dependen unos de otros . Y también, ¿cuáles son las propiedades multiplicativas conjuntas de conjuntos para diferentes (por ejemplo, hay estimaciones no triviales sobre )? $A\subconjunto {\mathbb {F} }$ $A+u,\ u\in {\mathbb {F} }$ ${\displaystyle A+u_{1},\dots,A+u_{k))$ ${\displaystyle u_{1},\puntos,u_{k))$ ${\ estilo de visualización | A (A + 1) |}$

Algunos resultados

si para simple , entonces: ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {F} }_{p))$ $pags$

- ${\displaystyle |A|<p^{5/8}\Rightarrow |A(A+1)|\gg |A|^{6/5))$ [quince]

- ${\displaystyle |A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A+1)|\gtrsim |A|^{11/9-o(1)))$ [dieciséis]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ \forall a\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}:\ |A(A+1)| \ll |A|\Rightarrow E_{\times }(A,A+a)\lesssim |A|^{32/13}$ [17]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}:\ |AA|\ll |A|\Rightarrow |(A+1)^{k}|\gg _{k}|A |^{k}$ [Dieciocho]

${\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |AA|^{4}|(A+1)(A+1)|\gtrsim |A|^{6))$ [19]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |(A+1)(A+1)(A+1)|^{16}|AA|^{78}\ gtrsim|A|^{111}$ [veinte]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}\forall u\subset {\mathbb {Q} }\setminus \{0\}:\ \max \left\lbrace {|A^ {k}|,|(A+u)^{k}|}\right\rbrace \gg |A|^{b(k)}$ , donde en [21] $b(k)\to \infty$ $k\in\infty$

Polinomios

Enunciado de la pregunta

La idea de combinar suma y multiplicación lleva naturalmente a la consideración de polinomios , es decir, las mismas expresiones racionales, pero en las que una variable puede aparecer varias veces (y por lo tanto tener un efecto más complejo en la estructura del conjunto resultante) . Resulta que en este caso, para asegurar un crecimiento incondicional, no es necesario utilizar tres copias del conjunto (como en la expresión ), sino que basta con elegir el polinomio deseado en dos variables. [22] Bourgain notó por primera vez tal propiedad para el polinomio . [23] ${\ estilo de visualización A + AA}$ ${\ estilo de visualización x^{2}+xy}$

Además, por analogía con el teorema de la suma del producto, se estudian los límites inferiores de polinomios arbitrarios . ${\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A,A)|\))$ $F$

Algunos resultados

El primer resultado de Bourgain: si . Entonces para algunos es cierto que $A,B\subconjunto {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\sim |B|\sim p^{\alpha },\ \alpha \in (0;1)$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon = \ varepsilon (\ alfa)> 0}$

\#\{a^{2}+ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}\geq N^{1+\varepsilon }

[24]

Al comparar y , la degeneración del polinomio es de gran importancia . Si es degenerado, es decir, lo representamos como , donde son polinomios y , entonces ambas sumas pueden resultar pequeñas si es una progresión aritmética, porque . Por lo tanto, los resultados se formulan solo para polinomios no degenerados: ${\ estilo de visualización | A + A |}$ ${\ estilo de visualización | f (A, A) |}$ $F$ ${\ estilo de visualización f = g (l (x, y))}$ ${\ estilo de visualización l, g}$ ${\ estilo de visualización \ grado l = 1}$ $A$ $|f(A,A)|\leq |l(A,A)|$

si , entonces [25] ${\ estilo de visualización \ grado f = 2}$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ |A|\leq p^{5/8}\Rightarrow \max\{|A+A|,|f(A ,A)|\}\gg |A|^{6/5}$

si , entonces [26] ${\ estilo de visualización \ grado f = d}$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ \max\{|A+A|,|f(A,A)|\}\gg \min \left\lbrace {{\frac{|A|^{3/2}}{dp^{1/4}}},{\frac{p^{1/3}|A|^{2/3}}{d^ {1/3}}}}\right\rbrace$

Multiplicación de matrices

Propiedades

Hay resultados sobre los conjuntos producto de un conjunto de matrices de uno u otro subgrupo de matrices (por ejemplo, o el grupo de Heisenberg ). Estrictamente hablando, estos resultados se refieren a una operación de un solo grupo ( multiplicación de matrices ), por lo que pueden denominarse combinatoria aditiva . Pero la fusión dentro de la definición de esta operación tanto de suma como de multiplicación de elementos [27] , así como la no conmutatividad que surge de esto, hacen que sus propiedades sean muy atípicas en comparación con las operaciones de grupo ordinarias, como la suma de números reales. ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb{R} })$

Por ejemplo, un conjunto de matrices a menudo puede crecer multiplicándose en condiciones muy simples (tamaño grande, restricción de elementos individuales o diferencia de subgrupos).

Algunos resultados

La mayoría de los resultados sobre grupos de matrices, cuando se trata de conjuntos arbitrarios de matrices, analizan el valor de , no . Esto no es un accidente, sino una necesidad técnica asociada con la no conmutatividad. [28] ${\ estilo de visualización | AAA |}$ ${\ estilo de visualización | AA |}$

si , entonces para el conjunto de matrices (pertenece al grupo de Heisenberg) es cierto que , donde [29] $A\subconjunto {\mathbb {R} }$ ${\mathcal {A}}=\left\lbrace {{\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in A}\right\rbrace$ $|{\mathcal {A}}{\mathcal {A}}|\gg |{\mathcal {A}}|^{7/4+c}$ $c>0$

let genera todo el grupo y . entonces [30] $A\subconjunto {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ $\forall a\in A\ :\a^{-1}\in A$ $|AAA|\gg \min\{|A|^{21/20},\ |{\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})|\ }$

$\forall A\subset {\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})\ :\ |A|>2|G|^{1-{\frac {1}{3(n+1)}}}\Rightarrow AAA={\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})$ (para otros grupos, es posible una estimación similar, dependiendo de la dimensión de sus representaciones ) [31]

si y , entonces la estructura está fuertemente relacionada con los subgrupos (esta conexión se puede expresar en términos de ) [32] $A\subconjunto {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $|AAA|\ll |A|^{1+\delta },\ \delta >0$ $A$ $A\subconjunto {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $\delta$

Aplicaciones

Los métodos analíticos para estudiar el crecimiento en un grupo y los grupos de Chevalley se pueden utilizar para derivar una forma especial de la conjetura de Zaremba . [33] [34] ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

Véase también

Referencias

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Notas

↑ Lo contrario no es cierto, ya que la palabra "aditivo" se forma a partir del inglés. adición (adición), su uso definitivamente no es apropiado para el tema de este artículo. Por ejemplo, Green , en una reseña de la monografía de Tao , al comenzar a hablar sobre el teorema de la suma-producto, menciona que se desvía de la definición de combinatoria aditiva ("Aunque estoy rehuyendo una definición de combinatoria aditiva... ").
↑ Erdös, Szemerédi, 1983 .
↑ Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 , comentario después del Teorema 1.5
↑ La designación , utilizada a continuación, no se acepta generalmente. $E_{AB+C}$
↑ Ver explicación sobre el ejemplo del teorema de la suma del producto en Garaev, 2010 (Teorema 1.1 y el comentario inmediatamente posterior)
↑ Balog, 2011 .
↑ Extracto del informe de S. V. Konyagin
↑ Shkredov, Zhelezov, 2016 , consecuencia 2
↑ , para más detalles ver Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 ${\ estilo de visualización c> 2 ^ {-222}}$
↑ , para más detalles ver Roche-Newton, Shkredov, 2019 $c_{2}={\frac {1}{392}}-c_{1}{\frac {125}{56}}-o(1)$
↑ Balog, Roche-Newton, Zhelezov, 2016 .
↑ Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2019 , oración 12
↑ Kerr, Macourt, 2019 , corolario 2.11
↑ Lo contrario, en términos generales, no es cierto: un cambio multiplicativo puede no cambiar las propiedades aditivas del conjunto de ninguna manera. Si es una progresión aritmética y , entonces para cualquier . Pero a veces resulta que se utilizan ideas similares; véase, por ejemplo, el Lema 2 en Glibichuk, 2006 , donde, al demostrar un problema análogo al de Waring en un campo finito, se formula un enunciado similar en términos de energía aditiva conjunta sobre la existencia del turno necesario. ${\displaystyle A\subconjunto {\mathbb {R} }_{+))$ $k\cdot A=\{ka\ :\a\in A\}$ $|k\cdot A+k\cdot A|=|A+A|$ $k$
↑ Stevens, de Zeeuw, 2017 , investigación 10
↑ Warren, 2019 .
↑ Shkredov, 2013 , consecuencia 5.8
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I), 2018 .
↑ Shkredov, 2017 , teorema 12
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , teorema 4.1
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II), 2018 .
↑ Los polinomios, de una forma u otra relacionados con el crecimiento de un conjunto, a menudo se denominan expansores en la literatura.
↑ Ver sección 5.2 en Garaev, 2010
↑ Bourgain, 2005 , teorema 2.1 (ver también la versión rusa en Garaev, 2010 , teorema 5.2)
↑ Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu, 2018 , Teorema 1.10
↑ Vu, 2007 , Teorema 1.2
↑ Cualquier elemento del producto de matrices es en realidad un polinomio en los elementos de las matrices multiplicadas
↑ Ver nota en Helfgott, 2009 , nota al pie en la p. 3, así como el hecho de que la desigualdad de Plünnecke-Rouge en grupos no conmutativos tiene una forma especial.
↑ Shkredov, 2019 , teorema 2
↑ Rudnev, Shkredov, 2019 , teorema 2
↑ Ver Nikolov, Pyber, 2007 , oración 2 y comentario en Helfgott, 2009 al comienzo de la sección 1.3.1
↑ Helfgott, 2009 , Teorema 1.1
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 .
↑ Shkrédov, 2020 .