Efecto Dzhanibekov

El teorema del eje intermedio , o el teorema de la raqueta de tenis , en mecánica clásica es un enunciado sobre la inestabilidad de la rotación de un cuerpo rígido en relación con el segundo eje principal de inercia. Es una consecuencia de las leyes de la mecánica clásica , que describe el movimiento de un cuerpo rígido con tres momentos de inercia principales diferentes . La manifestación del teorema durante la rotación de dicho cuerpo en ingravidez a menudo se denomina efecto Dzhanibekov en honor al cosmonauta soviético Vladimir Dzhanibekov , quien notó este fenómeno el 25 de junio de 1985 durante la misión de rescate de la estación espacial Salyut-7 [ 1] . En 1991 se publicó un artículo que explicaba esta observación.[2] . Al mismo tiempo, el mismo teorema sobre la inestabilidad de la rotación alrededor de un eje intermedio de inercia se conoce desde hace mucho tiempo y se demuestra en cualquier curso de mecánica clásica [3] . La inestabilidad de tal rotación se muestra a menudo en experimentos de conferencias. La inestabilidad de la rotación alrededor del eje de inercia intermedio (medio) y la estabilidad de la rotación alrededor de los otros dos ejes fueron descubiertas por primera vez por el mecánico francés Louis Poinsot en 1834 y publicadas en su tratado Nueva teoría de la rotación de cuerpos [ 4] [5 ] .

El teorema describe el siguiente efecto: la rotación de un objeto alrededor de los ejes principales con los momentos de inercia mayor y menor es estable, mientras que la rotación alrededor del eje principal con un momento de inercia intermedio (de ahí el nombre de teorema del eje intermedio ) no lo es. . Dzhanibekov vio esto con una tuerca de mariposa : girándola en gravedad cero con una horquilla larga , notó que vuela un poco, gira 180 ° y luego, después de volar un poco más, vuelve a girar.

En la Tierra, este efecto se puede ver en el siguiente experimento: tomar una raqueta de tenis por el mango e intentar lanzarla al aire de manera que complete una revolución completa alrededor de un eje que pasa en el plano de la raqueta perpendicular al mango, y agarrarlo por el mango. En casi todos los casos, la raqueta dará media vuelta a lo largo del eje longitudinal y te “mirará” con el otro lado. Si lanzas la raqueta y la giras a lo largo de otros ejes, la raqueta mantendrá su orientación después de un giro completo.

El experimento se puede hacer con cualquier objeto que tenga tres momentos de inercia diferentes, como un libro o un control remoto. El efecto ocurre cuando el eje de rotación es ligeramente diferente del segundo eje principal del sujeto; la resistencia del aire o la gravedad pueden despreciarse [6] .

Todavía es incorrecto llamar estables a las rotaciones alrededor de ejes con un momento de inercia máximo y mínimo, dados cuerpos físicos reales. Si hay fuerzas capaces de disipar la energía de rotación, como las fuerzas de marea, el cuerpo finalmente girará solo alrededor del eje con el máximo momento de inercia. Así rotan todos los asteroides y planetas, incluida la Tierra. Por lo tanto, la especulación sobre una posible rotación del eje de rotación de la Tierra es infundada.

Justificación matemática

El teorema del eje intermedio se puede analizar utilizando las ecuaciones de Euler .

Cuando se giran libremente, toman la siguiente forma:

{\begin{alineado}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega_{2}\omega_{3} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&= ( I_{3}-I_{1})\omega_{3}\omega_{1},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\texto{(2 )} }\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega_{1}\omega_{2}.~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)))\end{alineado))

Aquí denotamos los principales momentos de inercia, y suponemos que las velocidades angulares de rotación alrededor de los tres ejes principales - sus derivadas con respecto al tiempo - ${\ estilo de visualización I_{1},I_{2},I_{3))$ $Yo_{1}>Yo_{2}>Yo_{3}.$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ omega _ {3},}$ ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}.$

Considere la situación cuando un objeto gira alrededor de un eje con un momento de inercia Para determinar la naturaleza del equilibrio, asumimos que hay dos pequeñas velocidades angulares iniciales a lo largo de los otros dos ejes. Como resultado, según la ecuación (1), es muy pequeña. Por lo tanto, la dependencia del tiempo puede despreciarse. ${\ estilo de visualización I_ {1}.}$ ${\dot {\omega }}_{1}$ $\omega_{1}$

Ahora diferenciamos la ecuación (2) con respecto al tiempo y la sustituimos de la ecuación (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{alineado}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{1}^{2}\omega _{2}.\\\end{alineado}}

Tenga en cuenta que los signos de y y son diferentes, ya que el multiplicador es negativo, mientras que los multiplicadores y son positivos. En consecuencia, la velocidad inicialmente baja seguirá siendo pequeña en el futuro. Al diferenciar la ecuación (3), también se puede probar la estabilidad con respecto a las perturbaciones Dado que ambas velocidades y siguen siendo pequeñas, de (1) se sigue que y sigue siendo pequeña . Por lo tanto, la rotación alrededor del eje 1 ocurre a una velocidad constante. $\omega _{2}$ ${\ddot {\omega}}_{2}$ ${\ estilo de visualización (I_{3}-I_{1})}$ ${\ estilo de visualización (I_{1}-I_{2})}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {1} ^ {2}}$ $\omega _{2}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {3}.}$ $\omega _{2}$ $\Omega 3}$ ${\dot {\omega }}_{1}$

Un razonamiento similar muestra que la rotación alrededor de un eje con momento de inercia también es estable. $yo_3$

Ahora aplicamos estas consideraciones al caso de rotación alrededor de un eje con un momento de inercia . Muy pequeño esta vez . Por lo tanto, la dependencia del tiempo puede despreciarse. $yo_{2}$ ${\dot {\omega }}_{2}$ $\omega _{2}$

Ahora derivamos la ecuación (1) con respecto al tiempo y la sustituimos de la ecuación (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{alineado}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{2}^{2}\omega _{1}.\\\end{alineado}}

Tenga en cuenta que los signos de y son los mismos, ya que los tres factores son positivos. En consecuencia, la velocidad inicialmente baja aumentará exponencialmente hasta que deje de ser pequeña y la naturaleza de la rotación alrededor del eje 2 no cambie. Por lo tanto, incluso pequeñas perturbaciones a lo largo de otros ejes hacen que el objeto "se voltee". $\omega_{1}$ ${\ddot {\omega}}_{1}$ ${\ estilo de visualización (I_{2}-I_{3}),}$ ${\ estilo de visualización (I_{1}-I_{2})}$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {2} ^ {2}}$ $\omega_{1}$ ${\dot {\omega }}_{2}$

Véase también

Notas

↑ Efecto Dzhanibekov - Foros de CNews (enlace inaccesible) . live.cnews.ru. Consultado el 26 de marzo de 2016. Archivado desde el original el 16 de agosto de 2016. (indefinido)
↑ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone, Richard H. Cushman. La raqueta de tenis giratoria (neopr.) // Revista de dinámicas y ecuaciones diferenciales. - 1991. - V. 3 , N º 1 . - S. 67-85 . -doi : 10.1007/ BF01049489 .
↑ Véase, por ejemplo: Sivukhin D.V. § 53, Tensor y elipsoide de inercia; § 54, Rotación de un cuerpo rígido por inercia alrededor de un punto fijo // Curso general de física. - M .: Ciencias , 1979. - T. I. Mecánica. - S. 297-300 . — 520 s.
↑ Poinsot L. Theórie nouvelle de la rotations des corps: Extrait d'un Mémoire lu à l'Académie des Sciences de l'Institut, el 19 de mayo de 1834 (fr.) . - París: Bachelier, 1834. - S. 47-51. — 56 págs.
↑ Poinsot L. Esquemas de una nueva teoría del movimiento rotatorio (inglés) / trad. de fr. en inglés: Ch. Whitley. - Cambridge: Pitt Press, 1834. - P. 63-68. - iv + 96 p. :
Si el polo instantáneo [de rotación] coincide con el polo mayor o menor del elipsoide [de inercia] y, bajo la influencia del impulso de algún pequeño par perturbador [de fuerzas], se desvía una pequeña distancia de él, entonces No avance más, pero describirá su poloide alrededor de este polo particular del elipsoide. Pero ocurre de otra manera cuando el polo instantáneo coincide con el polo medio del elipsoide; porque al menor desplazamiento, se alejará más y más y continuará describiendo su poloide alrededor de un polo mayor o menor, dependiendo de si esta perturbación aleatoria está dirigida a aumentar o disminuir la distancia del plano tangente del par desde el centro. del elipsoide. Si la perturbación es tal que esta distancia no cambia, lo que ocurre en las direcciones de dos elipses particulares que se cortan en el polo medio, entonces el polo instantáneo describirá la elipse a lo largo de la cual comenzó a moverse, o más bien la mitad de esta elipse, hasta llega al polo opuesto del medio, que es la mayor perturbación que puede experimentar un cuerpo; mientras tanto, si el movimiento del polo se iniciara por la otra mitad de esta elipse, inmediatamente volvería al mismo polo central, que es la menor perturbación posible. Por tanto, existe el único caso en que el eje instantáneo, apartado del eje medio con el que coincidía al principio, no sólo no se aleja más de él, sino que incluso vuelve a él inmediatamente, hasta que su distancia se vuelve menor que cualquier otra. valor dado. Pero en todos los demás casos comienza a describir un cono elíptico alrededor del eje mayor o menor, o sigue el plano de una u otra elipse que he mencionado; y podemos decir que el movimiento de rotación alrededor del eje medio no tiene estabilidad.
↑ Mark Levy. 6. La paradoja de la raqueta de tenis // Mecánica clásica con cálculo de variaciones y control óptimo: una introducción intuitiva. - Sociedad Matemática Americana, 2014. - Pág. 151-152.

Enlaces

Demostración del efecto : la estación orbital Mir , Alexander Serebrov , que se muestra en el programa de la serie Lessons from Space, lanzado en 1997
Vídeo del efecto Janibekov desde la Estación Espacial Internacional , mostrado por los tripulantes de la ISS-30 Anton Shkaplerov y Daniel Burbank
Video en cámara lenta que muestra la rotación de una raqueta de tenis de mesa
Demostración del efecto Dzhanibekov , modelado con Blender , fuentes de demostración también disponibles
Una explicación intuitiva del efecto Dzhanibekov