Elipsoide de inercia

Elipsoide de inercia (para el punto O) es una figura geométrica en forma de superficie de segundo orden que caracteriza el tensor de inercia de un cuerpo rígido con respecto al punto O.

El tensor de inercia y el elipsoide de inercia

Artículo principal: Tensor de inercia

El momento de inercia de un cuerpo viene dado por la fórmula general:

I=\int {\mathbf r}_{{\bot}}^{2}\,dm

El tensor de inercia para un cuerpo rígido se representa como una matriz simétrica

{\begin{pmatrix}I_{{xx}}&I_{{xy}}&I_{{xz}}\\I_{{yx}}&I_{{yy}}&I_{{yz}}\\I_{{zx }}&I_{{zy}}&I_{{zz}}\end{pmatrix}}

en la que los elementos son los momentos de inercia respecto a diferentes ejes:

$I_{{xx}}=\int (y^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{yy}}=\int (x^{2}+z^{2})\,dm$
$I_{{zz}}=\int (x^{2}+y^{2})\,dm$

$I_{{xy}}=I_{{yx}}=-\int xy\,dm$
$I_{{xz}}=I_{{zx}}=-\int xz\,dm$
$I_{{yz}}=I_{{zy}}=-\int yz\,dm$

La matriz del tensor de inercia se puede representar en forma de diagonal , y entonces los elementos de la diagonal , , serán los principales momentos de inercia del cuerpo. La ecuación para el elipsoide de inercia se escribe entonces como: ${\ Displaystyle I_ {x}}$ $yo_{y}$ ${\ estilo de visualización I_ {z}}$

$I_{x}x^{2}+I_{y}y^{2}+I_{z}z^{2}=1$

En este caso, los ejes de coordenadas del elipsoide deben coincidir con los ejes principales del cuerpo.

Conocer el elipsoide de inercia te permite encontrar el momento de inercia del cuerpo con respecto a cualquier eje, siempre que pase por el centro del elipsoide. Para ello, se dibuja un radio vector a lo largo del eje seleccionado hasta que se cruza con el elipsoide de inercia. El momento de inercia del cuerpo con respecto a este eje viene dado por la fórmula:

$yo={\frac{1}{r^{2}}}$ , donde es la longitud del radio vector. $r$

Si el momento de las fuerzas externas con respecto a un punto fijo es igual a cero, entonces se dice que se realiza el caso de Euler del movimiento de un cuerpo rígido. Para tal caso, Poinsot logró obtener una clara interpretación geométrica: el elipsoide de inercia para un punto fijo rueda sin deslizarse por un plano fijo en el espacio; este plano es ortogonal al vector momento angular del cuerpo; la velocidad angular del cuerpo es proporcional a la longitud del radio vector del punto de contacto y coincide con él en la dirección.

Ejemplos de elipsoides de inercia

Paralelepípedo rectangular

Deje que el paralelepípedo tenga dimensiones . Principales momentos de inercia: ${\ estilo de visualización a, b, c}$

I_{x}={\frac {m}{12}}(b^{2}+c^{2}),\quad I_{y}={\frac {m}{12}}(a^{ 2}+c^{2}),\quad I_{z}={\frac {m}{12}}(a^{2}+b^{2})

En la ilustración se muestra una vista aproximada del elipsoide de inercia.

Para calcular el elipsoide de inercia de una varilla delgada infinitamente larga , una de las dimensiones se considera mucho mayor que las otras, y el elipsoide degenera en una superficie cilíndrica .

Literatura

Sivukhin D.V. Curso general de física. - 4ª ed. — M. : FIZMATLIT; Editorial MIPT, 2005. - Vol. 1. Mecánica. - S. 311. - 560 pág. — ISBN 5-9221-0225-7 .
Taller de laboratorio de física general / A.D. Gladun. - M. : MIPT, 2004. - T. 1. Mecánica. - S. 133. - 316 pág. — ISBN 5-7417-0202-3 .
Landau LD, Lifshits EM Física teórica. - 5ª ed. - M. : FIZMATLIT, 2007. - T. 1. Mecánica. - S. 131. - 224 pág. - ISBN 978-5-9221-0819-5 .