Teoremas de Kelvin

Bajo el teorema de Kelvin en hidrodinámica , generalmente significan el teorema principal de Kelvin , sin embargo, también se conocen otros dos teoremas de Thomson (Kelvin) .

Teorema del movimiento irrotacional de Kelvin

En 1849, William Thomson demostró el teorema de la energía cinética mínima para un fluido:

si en el límite de alguna región simplemente conectada el movimiento de vórtice coincide con el movimiento de rotación , entonces la energía cinética del movimiento de rotación en la región bajo consideración es menor que la energía cinética del movimiento de vórtice.

Demostración del primer teorema de Kelvin

El teorema de Kelvin se puede demostrar basándose en el hecho de que la velocidad en el movimiento irrotacional es potencial ( v = gradφ) y que la divergencia de la velocidad de un fluido incompresible es cero, tanto para el movimiento irrotacional como para el vórtice. De hecho, dejemos que Δ Algo = Algo gire. - Algo sin torbellino. . Entonces, para la diferencia de energías cinéticas, podemos escribir:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2 }-V^{2}]d\tau =\rho \iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2)) \iiiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

donde ρ es la densidad del líquido y τ es el volumen del líquido . Considere además solo la primera integral a la derecha:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau ,

y, dado que div(φ a ) = φ div a + gradφ a , la integral se puede transformar de la siguiente manera:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\ varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operatorname {div} \mathbf {V} )d\tau ,

donde σ es la superficie que limita el volumen τ, y el índice n denota la componente normal del vector. De las condiciones del teorema se sigue que en la superficie σ los movimientos de vórtice y de irrotación coinciden, es decir, ΔV = 0, además, por la condición de incompresibilidad div V = 0. Así, en la última igualdad, todos los términos son iguales a cero y por la diferencia de energías cinéticas resulta:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau}|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

de donde se sigue el teorema de Kelvin.

Teorema cinemático de Kelvin

El teorema cinemático de Kelvin permite predecir el comportamiento de un tubo de vórtice en el tiempo desde un punto de vista puramente cinemático. La formulación del teorema es la siguiente:

la derivada temporal parcial de la circulación de la velocidad a lo largo de un circuito líquido cerrado es igual a la circulación de la aceleración a lo largo del mismo circuito.

Demostración del segundo teorema de Kelvin

Calculemos la derivada temporal parcial de la velocidad de circulación a lo largo de un contorno arbitrario C , sin suponer primero que está cerrado.

{\begin{alineado}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d} {dt))(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} {dt))\cdot \mathbf {\delta r} + \int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt))(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf { V} {dt))\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt }}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} {dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \ izquierda({\frac {V^{2}}{2}}\derecha).\end{alineado}}

Obviamente, cuando se cierra el circuito, la última integral desaparecerá. De este modo:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits_{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\dot { V}} ).

Teorema del fluido barotrópico de Kelvin

El teorema del fluido barotrópico de Kelvin también se denomina teorema fundamental de Kelvin , que fundamenta la posibilidad de la existencia de un movimiento irrotacional:

cuando un fluido ideal barotrópico se mueve bajo la acción de fuerzas potenciales, la velocidad de circulación en un circuito fluido cerrado no cambia.

Demostración del tercer teorema de Kelvin

El teorema se demuestra fácilmente sobre la base del teorema anterior sustituyendo en el lado derecho de la expresión para la aceleración en el caso de fuerzas potenciales : $\mathbf {\dot {V}}=-\operatorname {grado} \Pi$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits_{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\dot {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operatorname {grad } \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

por lo tanto es una constante. $\Gama$

El teorema fue formulado y probado por W. Thomson en 1869 . La forma diferencial del teorema de Kelvin es la ecuación de vórtice .

Literatura

Loytsyansky L.G. Mecánica de líquidos y gases. - 7ª ed., rev. - M. : Avutarda, 2003. - 840 p. - (Clásicos de la ciencia rusa). — ISBN 5-7107-6327-6 .
Sychev V. V., Bashkin V. A. Ch. I // Conferencias sobre hidrodinámica teórica. - M. : MIPT, 2003. - 188 p. — ISBN 5-7417-0222-8 .