Teoremas de Shannon para un canal ruidoso

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Los teoremas de Shannon para un canal ruidoso ( Teoremas de Shannon para la transmisión por un canal ruidoso ) conectan la capacidad de un canal de transmisión de información y la existencia de un código que puede usarse para transmitir información por un canal con un error que tiende a cero (como el bloque aumenta la longitud).

Enunciado de los teoremas

Dejar

$k$ es la longitud del bloque generado por la fuente
$L$ - la longitud del bloque que se transmitirá por el canal (después de la codificación)
$R$ — tasa de mensajes (rendimiento de la fuente)

{\ estilo de visualización R = K/L}

$C$ - capacidad del canal , definida como la máxima información mutua en la entrada y salida del canal ( y - representación de la entrada y salida del canal como variables aleatorias ) $X$ $Y$

C=\max({I(X;Y)})

${\ Displaystyle P_ {er}}$ es la probabilidad promedio de un error de decodificación de bloque
${\ Displaystyle P_ {er, máx}}$ es la probabilidad máxima de un error de decodificación de bloque

{\displaystyle {P}_{er,max}=\max \limits _{1\leqslant s\leqslant M}P_{er))

teorema directo

Si la tasa de mensajes es menor que el ancho de banda del canal de comunicación ( ), entonces existen códigos y métodos de decodificación tales que las probabilidades de error de decodificación promedio y máximo tienden a cero cuando la longitud del bloque tiende a infinito, es decir , cuando . ${\ estilo de visualización R<C}$ $\left\{({\vec {x_{1}}},{\vec {x_{2}}},...,{\vec {x_{M))))\right\}$ $P_{er}\a 0$ $P_{er,\max }\to 0$ $L\a\infty$

En otras palabras: para un canal ruidoso, siempre es posible encontrar un sistema de codificación en el que los mensajes se transmitirán con un grado de fidelidad arbitrariamente alto , a menos que el rendimiento de la fuente exceda la capacidad del canal .

teorema inverso

Si la tasa de transmisión es mayor que el ancho de banda, es decir , entonces no existen métodos de transmisión en los que la probabilidad de error tienda a cero ( ) con un aumento en la longitud del bloque transmitido, ( ). ${\ estilo de visualización R> C}$ $P_{er}\a 0$ $L\a\infty$

Límite de Shannon

El límite de Shannon es la tasa de transmisión máxima para la que es posible (para elegir un diseño de código de señal) corregir errores en un canal con una relación señal/ruido dada . Para un canal con ruido gaussiano blanco aditivo , el rendimiento según la fórmula de Shannon es:

C=\Delta F\cdot \log _{2}\left(1+{\frac {P_{s}}{P_{n}}}\right)=\Delta F\cdot \log_{ 2}\izquierda(1+{\frac{P_{s}}{N_{0}F}}\derecha)

dónde

$\Delta F$ — ancho de banda del canal, Hz ,
${\ Displaystyle P_ {s}}$ - potencia de la señal, W ,
$P_{n}$ — potencia de ruido, W,
${\ Displaystyle N_ {0}}$ es la densidad espectral de potencia de ruido , W/Hz.

Capacidad máxima de canales con AWGN y espectro ilimitado:

C_{\infty}=\lim_{F\to \infty}C=\lim_{F\to \infty}F\cdot \log_{2}e\cdot \ln \left(1+) {\frac {P_{s}}{N_{0}F}}\right)=\lim _{F\to \infty }F\cdot {\frac {P_{s}}{N_{0}F} }\log _{2}e={\frac {P_{s}}{N_{0}}}\log _{2}e\approx {\frac {P_{s}}{N_{0}}} \cdot 1,443

bps

Actualmente ( 2007 ), la aproximación más cercana a este límite viene dada por un código LDPC con una longitud de bloque aproximada de 10 millones de bits .

Además, por otro lado, el límite de Shannon puede entenderse como la relación señal/ruido mínima para la cual es teóricamente posible la transmisión y decodificación sin errores de un bloque a una velocidad determinada. Por ejemplo, para un tipo de modulación QPSK y una tasa de bits de 1 (bps)/símbolo, la relación señal/ruido mínima es de 0,25 dB.

Literatura

Gabidulin E. M. , Pilipchuk N. I. Conferencias sobre teoría de la información - Instituto de Física y Tecnología de Moscú , 2007. - 214 p. — ISBN 978-5-7417-0197-3
Vargauzin, VA, Tsikin, IA Métodos para mejorar la eficiencia energética y espectral de las comunicaciones por radio digital - San Petersburgo: BHV-Petersburg, 2013 - 352 p. - ISBN 978-5-9775-0878-0