Teoría de la flexión de la viga de Timoshenko

La teoría de la flexión de vigas de Timoshenko fue desarrollada por Stepan Prokofievich Timoshenko a principios del siglo XX. [1] [2] El modelo tiene en cuenta la deformación por cortante y la flexión rotacional , lo que lo hace aplicable para describir el comportamiento de vigas gruesas, paneles sándwich y vibraciones de alta frecuencia de vigas cuando la longitud de onda de estas vibraciones se vuelve comparable al espesor de el haz. A diferencia del modelo de flexión de vigas de Euler-Bernoulli , el modelo de Timoshenko conduce a una ecuación de cuarto orden, que también contiene derivadas parciales de segundo orden. Tener en cuenta físicamente los mecanismos de deformación reduce efectivamente la rigidez de la viga y conduce a una mayor deflexión bajo carga estática y a la predicción de frecuencias naturales más bajas para un conjunto dado de condiciones de contorno. La última consecuencia es más notable a altas frecuencias, ya que la longitud de onda de las oscilaciones se vuelve más corta y la distancia entre las fuerzas de cizallamiento en direcciones opuestas disminuye.

Si el módulo de corte del material de la viga se establece igual a infinito (y, por lo tanto, se prohíbe que la viga experimente deformaciones de corte) y si se desprecian los efectos de la inercia en la rotación, entonces el modelo de Timoshenko se reduce a la teoría habitual de la flexión de la viga.

Viga cuasiestática de Timoshenko

En la teoría estática de la viga de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que el desplazamiento de la viga se da de la siguiente forma: donde se dan las coordenadas de un punto de la viga, son las componentes del vector de desplazamiento en tres direcciones de coordenadas , es el ángulo de rotación de la normal con respecto a la superficie media de la viga, y es el desplazamiento de la superficie media en la dirección del eje . $u_{x}(x,y,z)=-z~\varphi (x)~;~~u_{y}(x,y,z)=0~;~~u_{z}(x ,y)=w(x)$ $(x, y, z)$ $u_{x},u_{y},u_{z}$ $\varphi$ $w$ $z$

Las ecuaciones iniciales son el siguiente par de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas :

{\begin{alineado}&{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\right)=q(x)\\&{\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} x}}=\varphi -{\frac {1}{\kappa AG}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(EI{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}\derecha).\end{alineado}}

En el límite estático, la teoría de flexión de vigas de Timoshenko es equivalente a la teoría de flexión de vigas de Euler-Bernoulli en el caso de que se pueda despreciar el último término. Esta aproximación es válida cuando: donde ${\frac {EI}{\kappa L^{2}AG}}\ll 1$

$L$ - longitud del haz.
$A$ - área de sección de la viga.
$mi$ es el módulo de elasticidad .
$GRAMO$ es el módulo de cortante .
$yo$ es el segundo momento del área de la sección.
$\kappa$ se denomina coeficiente de cortante de Timoshenko y depende de la forma de la sección de la viga. Para una viga rectangular . ${\ estilo de visualización \ kappa = 5/6}$
$q(x)$ - distribución de la carga (fuerza aplicada por unidad de longitud).

Combinando estas dos ecuaciones, obtenemos en el caso de una viga uniforme de sección transversal constante: ${\displaystyle EI~{\cfrac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x)-{\cfrac {EI}{\kappa AG} }~{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} x^{2))))$

El momento de flexión y la fuerza cortante en una viga están relacionados con el desplazamiento y la rotación . En el caso de una viga elástica lineal de Timoshenko, estas restricciones tienen la siguiente forma: ${\ Displaystyle M_ {xx}}$ ${\ Displaystyle Q_ {x}}$ $w$ $\varphi$

$M_{xx}=-EI~{\frac {\parcial \varphi }{\parcial x))\quad {\text{u))\quad Q_{x}=\kappa ~AG~\left( -\varphi +{\frac {\w parcial}{\x parcial}}\right)\,.$

Condiciones de contorno (límite)

Las dos ecuaciones que describen la deformación de la viga de Timoshenko deben complementarse con condiciones de contorno (límite) . Un problema correctamente planteado requiere establecer cuatro condiciones de contorno. Por lo general, las condiciones de contorno son:

Vigas de soporte dobles : el desplazamientose establece en cero en las dos ubicaciones de soporte. También debe especificar el momento de flexión aplicado a la viga. La rotacióny la fuerza de corteno están especificadas. $w$ ${\ Displaystyle M_ {xx}}$ $\varphi$ ${\ Displaystyle Q_ {x}}$
Viga sujeta rígidamente (en voladizo) : el desplazamientoy la rotaciónse establecen en cero en el extremo pinzado de la viga. Si uno de los extremos de la viga está libre, entonces se debe establecer la fuerza cortantey el momento flector para este extremo. $w$ $\varphi$ ${\ Displaystyle Q_ {x}}$ ${\ Displaystyle M_ {xx}}$

Ejemplo: Una viga sujeta rígidamente

Para una viga sujeta rígidamente , un extremo está sujetado mientras que el otro está libre. Usaremos un sistema de coordenadas diestro , en el que la dirección del eje se considera positiva en la dirección hacia la derecha, y la dirección del eje es positiva en la dirección hacia arriba. Siguiendo las convenciones tradicionales, supondremos que las fuerzas positivas están dirigidas en la dirección positiva de los ejes y , y los momentos flectores positivos actúan en el sentido de las manecillas del reloj. También asumimos el siguiente acuerdo sobre los signos de los componentes de la tensión mecánica ( y ): los momentos de flexión positivos comprimen el material de la viga en la parte inferior (coordenadas más pequeñas ), las fuerzas cortantes positivas giran la viga en sentido contrario a las agujas del reloj. $X$ $z$ $X$ $z$ ${\ Displaystyle M_ {xx}}$ ${\ Displaystyle Q_ {x}}$ $z$

Suponga que el extremo pinzado de la viga tiene la coordenada , y el extremo libre - . Si se aplica una carga puntual al extremo libre en la dirección positiva del eje , entonces la condición de equilibrio para el sistema de fuerzas de viga convergentes nos da ${\ estilo de visualización x = L}$ $x=0$ $PAGS$ $z$

-Px-M_{xx}=0\implica M_{xx}=-Px

P+Q_{x}=0\implica Q_{x}=-P\,.

Por lo tanto, a partir de las expresiones para el momento flector y el esfuerzo cortante, obtenemos

Px=EI\,{\frac {d\varphi }{dx}}\qquad {\text{u}}\qquad -P=\kappa AG\left(-\varphi +{\frac {dw} {dx}}\derecha)\,.

Integrando la primera ecuación y aplicando la condición de frontera para , llegamos a $\varfi=0$ ${\ estilo de visualización x = L}$

\varphi(x)=-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{2})\,.

La segunda ecuación se puede reescribir como

{\frac {dw}{dx}}=-{\frac {P}{\kappa AG}}-{\frac {P}{2EI}}\,(L^{2}-x^{ 2})\,.

Integrando y aplicando la condición de contorno en escribimos ${\ estilo de visualización w = 0}$ ${\ estilo de visualización x = L}$

w(x)={\frac {P(Lx)}{\kappa AG}}-{\frac {Px}{2EI}}\,\left(L^{2}-{\frac {x ^{2}}{3}}\derecha)+{\frac{PL^{3}}{3EI}}\,.

La tensión axial viene dada por la expresión

\sigma _{xx}(x,z)=E\,\varepsilon _{xx}=-E\,z\,{\frac {d\varphi }{dx}}=-{\frac { Pxz}{I}}={\frac{M_{xx}z}{I}}\,.

Dinámica de la Viga de Timoshenko

En la teoría de flexión de vigas de Timoshenko sin efectos axiales, se supone que la deflexión de la viga se da en la forma

u_{x}(x,y,z,t)=-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z,t)=0~;~~ u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

donde son las coordenadas del punto del haz, son las componentes del vector de deflexión en tres direcciones coordinadas, es el ángulo de rotación de la normal con respecto a la superficie media del haz, y es la desviación de la superficie media en la dirección del eje $(x, y, z)$ $u_{x},u_{y},u_{z}$ $\varphi$ $w$ $z$

Dada la suposición anterior, la teoría de flexión de la viga de Timoshenko (con la suposición de oscilaciones) puede describirse mediante un par de ecuaciones diferenciales parciales lineales : [3]

\rho A{\frac {\parcial ^{2}w}{\parcial t^{2))}-q(x,t)={\frac {\parcial }{\parcial x))\ izquierda[\kappa AG\izquierda({\frac {\w parcial}{\x parcial}}-\varphi \right)\right]

\rho I{\frac {\parcial ^{2}\varphi }{\parcial t^{2))}={\frac {\parcial }{\parcial x))\left(EI{\frac {\parcial \varphi }{\parcial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\parcial w}{\parcial x}}-\varphi \right)

donde las cantidades requeridas son (desviación del haz) y (desviación angular). Tenga en cuenta que, en contraste con la teoría de la flexión de vigas de Euler-Bernoulli, la deflexión angular es una variable separada y no se aproxima a la pendiente de la deflexión. Además, ${\ estilo de visualización w (x, t)}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (x, t)}$

$\rho$ - densidad del material del haz (no densidad lineal ).
$A$ - área de sección de la viga.
$mi$ es el módulo de elasticidad .
$GRAMO$ es el módulo de cortante .
$yo$ es el segundo momento del área de la sección .
$\kappa$ - se denomina coeficiente de cortante de Timoshenko, que depende de la forma de la viga. Para una sección de viga rectangular . ${\ estilo de visualización \ kappa = 5/6}$
${\ estilo de visualización q (x, t)}$ - carga distribuida (fuerza aplicada por unidad de longitud).
${\ estilo de visualización m: = \ rho A}$
$J:=\rho I$

Estos parámetros no son necesariamente constantes.

Para una viga homogénea isotrópica elástica lineal de sección transversal constante, estas dos ecuaciones se pueden combinar en la siguiente ecuación [4] [5]

EI~{\cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial x^{4))}+m~{\cfrac {\parcial ^{2}w}{\parcial t^{2} }}-\left(J+{\cfrac {EIm}{kAG}}\right){\cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial x^{2}~\parcial t^{2}}} +{\cfrac {mJ}{kAG}}~{\cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial t^{4}}}=q(x,t)+{\cfrac {J}{kAG }}~{\cfrac {\parcial ^{2}q}{\parcial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{kAG}}~{\cfrac {\parcial ^{2}q}{ \parcial x^{2}}}

La ecuación de Timoshenko predice la presencia de una frecuencia crítica Para modos normales, la ecuación de Timoshenko se puede resolver. Dado que esta es una ecuación de cuarto orden, tiene cuatro soluciones independientes, dos oscilatorias y dos que decaen rápidamente a frecuencias por debajo de . Para frecuencias superiores a , todas las soluciones son oscilatorias y, como consecuencia, surge un segundo espectro. [6] $\omega _{C}=2\pi f_{c}={\sqrt {\frac {\kappa GA}{\rho I))}.$ $f_{c}$ $f_{c}$

Efectos axiales

Si la deflexión del haz se da como

u_{x}(x,y,z,t)=u_{0}(x,t)-z~\varphi (x,t)~;~~u_{y}(x,y,z ,t)=0~;~~u_{z}(x,y,z,t)=w(x,t)

donde hay una desviación adicional en la dirección del eje , entonces la ecuación básica para la flexión de la viga según Timoshenko toma la forma $tu_{0}$ $X$

{\begin{alineado}m{\frac {\parcial ^{2}w}{\parcial t^{2))}&={\frac {\parcial }{\parcial x))\left[ \kappa AG\left({\frac {\parcial w}{\parcial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t)\\J{\frac {\parcial ^{2}\ varphi }{\t parcial^{2}}}&=N(x,t)~{\frac {\w parcial}{\x parcial}}+{\frac {\parcial }{\x parcial}}\ izquierda(EI{\frac {\parcial \varphi }{\parcial x}}\derecha)+\kappa AG\izquierda({\frac {\parcial w}{\parcial x}}-\varphi \derecha)\end {alineado}}

donde es la fuerza axial aplicada externamente. Cualquier fuerza axial externa se equilibra con la tensión de deformación $J=\rho I$ ${\ estilo de visualización N (x, t)}$

N_{xx}(x,t)=\int_{-h}^{h}\sigma_{xx}~dz

donde es el esfuerzo axial. El espesor de la viga se considera aquí igual . $\sigma_{xx}$ ${\ estilo de visualización 2h}$

La ecuación combinada para la flexión de la viga, teniendo en cuenta la fuerza axial, tiene la forma

{\displaystyle EI~{\cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial x^{4))}+N~{\cfrac {\parcial ^{2}w}{\parcial x^{2} ))+m~{\frac {\parcial ^{2}w}{\parcial t^{2))}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG))\right)~{\ cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial x^{2}\parcial t^{2}}}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG}}~{\cfrac {\parcial ^{4 }w}{\parcial t^{4}}}=q+{\cfrac {J}{\kappa AG}}~{\frac {\parcial ^{2}q}{\parcial t^{2}}} -{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\parcial ^{2}q}{\parcial x^{2))))

Amortiguación (amortiguación)

Si, además de tener en cuenta las fuerzas axiales, también asumimos la presencia de una fuerza de amortiguamiento que es proporcional a la velocidad en la forma

\eta (x)~{\cfrac {\parcial w}{\parcial t))

entonces las ecuaciones básicas acopladas para la flexión de la viga de Timoshenko se vuelven iguales a

m{\frac {\parcial ^{2}w}{\parcial t^{2))}+\eta (x)~{\cfrac {\parcial w}{\parcial t))={\ frac {\parcial }{\parcial x}}\left[\kappa AG\left({\frac {\parcial w}{\parcial x}}-\varphi \right)\right]+q(x,t) ,

$J{\frac {\parcial ^{2}\varphi }{\parcial t^{2))}=N{\frac {\parcial w}{\parcial x))+{\frac {\parcial }{\parcial x}}\left(EI{\frac {\parcial \varphi }{\parcial x}}\right)+\kappa AG\left({\frac {\parcial w}{\parcial x}} -\varphi\derecha),$ y la ecuación combinada toma la forma

{\begin{alineado}EI~{\cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial x^{4))}&+N~{\cfrac {\parcial ^{2}w}{ \parcial x^{2))}+m~{\frac {\parcial ^{2}w}{\parcial t^{2))}-\left(J+{\cfrac {mEI}{\kappa AG} }\right)~{\cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial x^{2}\parcial t^{2))}+{\cfrac {mJ}{\kappa AG))~{\ cfrac {\parcial ^{4}w}{\parcial t^{4))}+{\cfrac {J\eta (x)}{\kappa AG))~{\cfrac {\parcial ^{3}w }{\t parcial^{3}}}\\&-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\cfrac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{2}}}\ izquierda(\eta (x){\cfrac {\parcial w}{\parcial t))\right)+\eta (x){\cfrac {\parcial w}{\parcial t))=q+{\cfrac { J}{\kappa AG}}~{\frac {\parcial ^{2}q}{\parcial t^{2}}}-{\cfrac {EI}{\kappa AG}}~{\frac {\ parcial ^{2}q}{\parcial x^{2}}}\end{alineado}}

Tal ansatz para la fuerza de amortiguamiento (similar a la fuerza viscosa) es algo poco realista ya que la viscosidad conduce a una tasa de amortiguamiento de las vibraciones del haz independiente de la frecuencia y dependiente de la amplitud, mientras que las mediciones empíricas muestran que el amortiguamiento depende débilmente de la frecuencia y fuertemente depende de la amplitud de la desviación del haz.

Factor de corte

No es tan fácil determinar el coeficiente de cambio y también es ambiguo (hay varias formas de determinarlo). En general, debe cumplir la condición:

\int _{A}\tau dA=\kappa AG\varphi\,

El factor de cambio depende de la relación de Poisson . Muchos científicos, incluidos Stepan Prokofievich Timoshenko , [7] Raymond D. Mindlin , [8] GR Cowper, [9] NG Stephen, [10] JR Hutchinson [11] y otros , han realizado intentos para obtener una expresión exacta . (ver también la derivación de las ecuaciones de flexión de vigas de Timoshenko usando la teoría de flexión de vigas basada en el método asintótico variacional en el libro de Khanh C. Le [12] que conduce a diferentes coeficientes de corte en casos estáticos y dinámicos). En la práctica de la ingeniería, las expresiones de Timoshenko [13] son suficientes en la mayoría de los casos. En 1975, Kaneko [14] publicó una muy buena revisión sobre el factor de corte. Más recientemente, nuevos datos experimentales han demostrado que el factor de desplazamiento está subestimado. [15] [16]

Según el trabajo de Cowper de 1966 para una sección de viga rectangular sólida

\kappa ={\cfrac {10(1+\nu )}{12+11\nu }}

y para una viga redonda maciza

\kappa ={\cfrac {6(1+\nu )}{7+6\nu }}

Véase también

Haz (técnica)
Flexión (mecánica)
Placa (mecánica estructural)
Losa (mecánica estructural)
Modelo de flexión de vigas de Euler-Bernoulli

Literatura

↑ Timoshenko, SP, 1921, Sobre el factor de corrección por corte de la ecuación diferencial para vibraciones transversales de barras de sección transversal uniforme , Philosophical Magazine, p. 744.
↑ Timoshenko, SP, 1922, Sobre las vibraciones transversales de barras de sección transversal uniforme , Revista Filosófica, p. 125.
↑ Ecuaciones de haz de Timoshenko . Consultado el 5 de enero de 2019. Archivado desde el original el 15 de octubre de 2007. (indefinido)
↑ Thomson, WT, 1981, Teoría de la vibración con aplicaciones , segunda edición. Prentice Hall, Nueva Jersey.
↑ Rosinger, HE y Ritchie, IG, 1977, Sobre la corrección de Timoshenko para cortante en vigas isotrópicas vibrantes , J. Phys. D: aplicación Phys., vol. 10, págs. 1461-1466.
↑ "Estudio experimental de las predicciones de la teoría del haz de Timoshenko", A. Díaz-de-Anda, J. Flores, L. Gutiérrez, RA Méndez-Sánchez, G. Monsivais, and A. Morales, Journal of Sound and Vibration, volumen 331 , número 26, 17 de diciembre de 2012, págs. 5732-5744.
↑ Timoshenko, Stephen P., 1932, Schwingungsprobleme der Technik , Julius Springer.
↑ Mindlin, R.D., Deresiewicz, H., 1953, Coeficiente de corte de Timoshenko para vibraciones de flexión de vigas , Informe técnico No. 10, Proyecto ONR NR064-388, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad de Columbia, Nueva York, NY
↑ Cowper, GR, 1966, "El coeficiente de corte en la teoría de vigas de Timoshenko", J. Appl. Mec., vol. 33, núm. 2, págs. 335-340.
↑ Stephen, NG, 1980. "Coeficiente de corte de Timoshenko de una viga sujeta a carga por gravedad", Journal of Applied Mechanics, vol. 47, núm. 1, págs. 121-127.
↑ Hutchinson, JR, 1981, "Vibración transversal de vigas, soluciones exactas frente a aproximadas", Journal of Applied Mechanics, vol. 48, núm. 12, págs. 923-928.
↑ Le, Khanh C., 1999, Vibraciones de conchas y varillas , Springer.
↑ Stephen Timoshenko, James M.Gere. Mecanica de materiales. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. páginas 207.
↑ Kaneko, T., 1975, "Sobre la corrección de Timoshenko para cortante en vigas vibrantes", J. Phys. D: aplicación Phys., vol. 8, págs. 1927-1936.
↑ "Comprobación experimental de la precisión de la teoría del haz de Timoshenko", RA Méndez-Sáchez, A. Morales, J. Flores, Journal of Sound and Vibration 279 (2005) 508-512.
↑ "Sobre la precisión de la teoría de la viga de Timoshenko por encima de la frecuencia crítica: mejor coeficiente de corte", JA Franco-Villafañe y RA Méndez-Sánchez, Journal of Mechanics, enero de 2016, págs. 1-4. DOI: 10.1017/jmech.2015.104.