Condiciones iniciales y de contorno

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En la teoría de las ecuaciones diferenciales , las condiciones iniciales y de contorno  son una adición a la ecuación diferencial básica (diferencial ordinaria o parcial ), que especifica su comportamiento en el momento inicial del tiempo o en el límite de la región bajo consideración, respectivamente.

Por lo general, una ecuación diferencial no tiene una solución, sino toda una familia de ellas. Las condiciones iniciales y de contorno le permiten elegir una que corresponda a un proceso o fenómeno físico real. En la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias se demuestra un teorema sobre la existencia y unicidad de una solución a un problema con una condición inicial (el llamado problema de Cauchy ). Para las ecuaciones diferenciales parciales, se obtienen algunos teoremas de existencia y unicidad para soluciones para ciertas clases de problemas de valores iniciales y de contorno.

Terminología

A veces, las condiciones iniciales en problemas no estacionarios, como la solución de ecuaciones hiperbólicas o parabólicas , también se denominan condiciones de contorno .

Para problemas estacionarios, existe una división de las condiciones de contorno en principales y naturales .

Las condiciones principales suelen tener la forma , donde  es el límite de la región .

Las condiciones naturales también contienen la derivada de la solución con respecto a la normal a la frontera.

Ejemplo

La ecuación describe el movimiento de un cuerpo en el campo gravitacional de la tierra . Se satisface con cualquier función cuadrática de la forma donde  son números arbitrarios. Para aislar una ley de movimiento específica, es necesario indicar la coordenada inicial del cuerpo y su velocidad, es decir, las condiciones iniciales .

Corrección de la configuración de las condiciones de contorno

Los problemas de física matemática describen procesos físicos reales y, por lo tanto, su enunciado debe satisfacer los siguientes requisitos naturales:

1. La solución debe existir en alguna clase de función;
2. La solución debe ser única en cualquier clase de funciones;
3. La solución debe depender continuamente de los datos (condiciones iniciales y de contorno, intersección, coeficientes, etc.).

El requisito de una dependencia continua de la solución se debe al hecho de que los datos físicos, por regla general, se determinan aproximadamente a partir del experimento y, por lo tanto, uno debe estar seguro de que la solución del problema en el marco del modelo matemático elegido será no depende significativamente del error de medición. Matemáticamente, este requisito se puede escribir, por ejemplo, de la siguiente manera (por independencia del término libre):

Sean dadas dos ecuaciones diferenciales: con los mismos operadores diferenciales y las mismas condiciones de contorno, entonces sus soluciones dependerán continuamente del término libre si:

, donde , - soluciones de las ecuaciones correspondientes.

El conjunto de funciones para las que se cumplen los requisitos enumerados se denomina clase de corrección . El establecimiento incorrecto de las condiciones de contorno está bien ilustrado por el ejemplo de Hadamard .

Véase también

• Problema de Cauchy
• Problema de límites
• Condiciones de contorno para el campo electromagnético
• Condiciones de contorno de primera clase (problema de Dirichlet)
• Condiciones de contorno de segunda clase (problema de Neumann)
• Condiciones de contorno de 3er tipo (problema de Robin)
• Condiciones para un contacto térmico ideal
• Tarea asignada correctamente

Literatura

• Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ecuaciones de la física matemática. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .
• Akhtyamov AM Teoría de la identificación de las condiciones de contorno y sus aplicaciones. — M. : Fizmatlit, 2009.
• Akhtyamov A. M. , Sadovnichy V. A. , Sultanaev Ya. T. Problemas inversos de Sturm-Liouville con condiciones de contorno que no decaen. - M. : Editorial de la Universidad de Moscú, 2009.

física matemática
Tipos de ecuaciones	Ecuación diferencial Ecuación diferencial ordinaria Ecuación diferencial parcial ecuación integral Ecuación integral-diferencial Ecuación diferencial estocástica
Tipos de ecuaciones	ecuación hiperbólica ecuación parabólica Ecuación elíptica
Condiciones de borde	primer tipo segundo tipo tercer tipo Contacto térmico perfecto
Ecuaciones de la física matemática	Difusión y Convección Ecuación de calor Ecuación de difusión Ecuación de Mason-Weaver hidrodinámica Ecuación de transferencia Ecuaciones de Navier-Stokes ecuación de Euler Ecuación de Gromeka-Lamb Ecuación de vórtice Ecuación de hamburguesas Ecuaciones de aguas poco profundas Ecuación de Korteweg-de Vries Electromagnetismo ecuaciones de Maxwell Ecuación de Helmholtz Ecuación de Landau-Lifshitz Ecuación de Poisson apantallada Mecánica cuántica Ecuación de Schrödinger Ecuación de Heisenberg Ecuación de Rarita-Schwinger ecuación de Hartree Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon Modelos Generales Ecuación de continuidad ecuación de onda Ecuación de Fokker-Planck Ecuación de Poisson
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