Teoría de la dimensión

La teoría de la dimensión es una parte de la topología general , en la que se estudian las dimensiones : invariantes topológicos numéricos de cierto tipo. La dimensión se define de una forma u otra de forma natural sobre una amplia clase de espacios topológicos. Además, si hay un poliedro (en particular, una variedad ), la dimensión coincide con el número de dimensiones en el sentido de la geometría elemental. $X$ $X$

Tipos de dimensión

Dimensión inductiva - dimensiones inductivas grandes y pequeñas y $\left(\nombre del operador {Ind}\right.$ $\left.\nombre del operador {ind}\right)$
Dimensión de Lebesgue $\left(\nombre del operador {dim}\right)$
Dimensión homológica
Dimensión cohomológica

Historia

La primera definición general de dimensión (gran dimensión inductiva ) fue dada por Brouwer (1913), basándose en la idea de Poincaré . En 1921, Menger y Uryson , independientemente de Brouwer y entre sí, llegaron a una definición similar (la llamada pequeña dimensión inductiva ). Un enfoque completamente diferente al concepto de dimensión se origina en Lebesgue . $\nombre del operador {Ind}$ $\nombre del operador {ind}$

La dimensión de Hausdorff es una definición relacionada para los espacios métricos . Esta definición fue dada por Hausdorff en 1919 .

Definición según Uryson

Una figura topológica es de dimensión cero si no hay una figura conectada que contenga más de un punto en ella. Un conjunto tiene dimensión cero si alguno de sus puntos tiene una vecindad relativa arbitrariamente pequeña con un límite vacío [1] .

Un conjunto tiene dimensión uno si no es de dimensión cero, pero cualquiera de sus puntos tiene una vecindad relativa arbitrariamente pequeña, cuyo límite es de dimensión cero. Un conjunto tiene dimensión si no lo es , pero cualquiera de sus puntos tiene una vecindad relativa arbitrariamente pequeña, cuyo límite es normal [2] . $norte$ $n-1$

Un punto de un conjunto está separado de un punto por un conjunto si no hay un conjunto conexo en la figura que contiene los puntos y no interseca con . $a$ $X$ $b$ $A$ $X$ $a$ $b$ $A$

Una figura de dimensión topológica se define como una figura que no es una figura de dimensión y en la que cualquier punto, junto con su vecindad, puede estar separado del resto de la figura por un conjunto de dimensiones que no exceda [3] [4] . $norte$ $n-1$ $n-1$

Notas

↑ Vilenkin, 1969 , pág. 149.
↑ Vilenkin, 1969 , pág. 151.
↑ Boltyansky, 1982 , p. 35.
↑ Vilenkin, 1969 , pág. 152.

Literatura

Gurevich V. , Volman G. Teoría de la dimensión. - IL, 1948.
Boltyansky V. G. , Efremovich V. A. Topología visual. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
Vilenkin N. Ya. Establecer historias. - M. : Nauka, 1969. - 159 p.