Dimensión inductiva

La dimensión inductiva es un tipo de definición de la dimensión de un espacio topológico , basada en la observación de que las esferas en el espacio euclidiano tienen una dimensión menos.

Existen dos opciones para definir la dimensión inductiva, las llamadas dimensiones inductivas grandes y pequeñas ; para el espacio , por lo general se denotan y respectivamente. En la mayoría de los espacios topológicos que se encuentran en las aplicaciones, ambas dimensiones son iguales y también son iguales a la dimensión de Lebesgue .

Definición

Por definición, la dimensión de un conjunto vacío se considera igual a ; eso es

— la pequeña dimensión inductiva del espacio topológico , se define como el número más pequeño tal que para cualquier punto y cualquiera de sus vecindades abiertas , existe un conjunto abierto tal que , es decir, la pequeña dimensión inductiva de la frontera no excede y

donde denota un cierre .

- una dimensión inductiva grande se define de manera similar: como el número más pequeño tal que para cualquier conjunto cerrado y cualquiera de sus vecinos abiertos , existe un conjunto abierto , que y

Notas

• La dimensión de Lebesgue es otra forma de definir la dimensión de un espacio topológico; el término "dimensión topológica" se suele utilizar específicamente para la dimensión de Lebesgue; para el espacio, por lo general se denota por .

Propiedades

• si y solo si
• (Teorema de Urysohn) para un espacio normal con base contable , la igualdad

• Para espacios metrizables , se cumple lo siguiente ( Miroslav Katetov )
• Si el espacio es compacto y Hausdorff entonces ( P. S. Aleksandrov )
  • Ambas desigualdades pueden ser estrictas (V. V. Filippov)

• Un espacio métrico separable satisface la desigualdad si y sólo si, para todo subespacio cerrado del espacio , toda función continua admite una extensión continua .

Literatura

• Alexandrov P. S., Pasynkov B. A. Introducción a la teoría de la dimensión. Moscú: Nauka, 1973
• Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn y Karl Menger: artículos sobre la teoría de la dimensión" en Grattan-Guinness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier : 844-55.
• R. Engelking, Teoría de las Dimensiones. Finito e infinito , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 .

• VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, General Topology I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178- 4 .

• VV Filippov, Sobre la dimensión inductiva del producto de bicompacta , Soviet. Matemáticas. Dokl.13 (1972), nº 1, 250-254.
• AR Pears, Teoría de la dimensión de los espacios generales , Cambridge University Press (1975).