Prueba de Wald

La prueba de Wald es una prueba estadística utilizada para probar las restricciones sobre los parámetros de los modelos estadísticos estimados a partir de datos de muestra . Es una de las tres pruebas de restricción básicas junto con la prueba de razón de verosimilitud y la prueba del multiplicador de Lagrange . La prueba es asintótica, es decir, se requiere un tamaño de muestra suficientemente grande para la confiabilidad de las conclusiones.

Esencia y procedimiento de la prueba

Sea un modelo econométrico con vector de parámetros . Es necesario probar la hipótesis utilizando datos muestrales , donde es el conjunto (vector) de algunas funciones de parámetros. La idea de la prueba es que si la hipótesis nula es verdadera, entonces el vector muestral debe ser cercano a cero en algún sentido. Se supone que las estimaciones de los parámetros son al menos consistentes y asintóticamente normales (como son, por ejemplo, las estimaciones del método de máxima verosimilitud ), es decir $b$ $H_{0}:~g(b)=0$ $gramo$ $g({\sombrero {b)))$

${\sqrt {n}}({\sombrero {b}}-b){\xrightarrow {n\rightarrow \infty}}N(0,V)$

Por lo tanto, en base a los teoremas del límite, tenemos:

${\sqrt {n}}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}N(0,G(b)VG(b)^{T })$

donde es el jacobiano (matriz de primeras derivadas) del vector en el punto . $G(b)={\frac {\parcial g(b)}{\parcial b))$ $g(b)$ $b$

Después

$(g({\sombrero {b)))-g(b))^{T}(G(b)V_{{{\sombrero b))}G^{T}(b))^{{-1 }}(g({\hat {b}})-g(b)){\xrightarrow {n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{{{\hat b }}}=V/n$

Si se cumple la hipótesis nula ( ), entonces tenemos $g(b)=0$

$W=g({\sombrero {b}})^{T}(G(b)V_{{{\sombrero b}}}G^{T}(b))^{{-1}}g({ \hat {b))){\xrightarrow[ {H_{0}}]{n\rightarrow \infty }}\chi ^{2}(q)~,~~V_{({\hat b}}}= V/n$

Esta es la estadística de Wald . Dado que la matriz de covarianza es , en términos generales, desconocida en la práctica, en su lugar se utiliza alguna estimación de la misma. Además, en lugar de los valores verdaderos desconocidos de los coeficientes , se utilizan sus estimaciones . Por lo tanto, en la práctica, obtenemos un valor aproximado , por lo que la prueba de Wald es asintótica , es decir, se necesita una muestra grande para obtener conclusiones correctas. $V$ $b$ ${\ sombrero b}$ $W$

Si esta estadística es mayor que el valor crítico en un nivel de significación dado , entonces la hipótesis de restricción se rechaza a favor de un modelo sin restricciones (el "modelo largo"). De lo contrario, pueden ocurrir restricciones y es mejor construir un modelo con restricciones, llamado "modelo corto". $\chi _{{\alfa}}^{2}(q)$ $\alfa$

Cabe señalar que la prueba de Wald es sensible a la forma en que se formulan las restricciones no lineales. Por ejemplo, una restricción simple sobre la igualdad de dos coeficientes se puede formular como la igualdad de su relación a uno. Entonces los resultados de la prueba teóricamente pueden ser diferentes, a pesar de que la hipótesis es la misma.

Casos especiales

Si las funciones son lineales, es decir, se está probando la hipótesis del siguiente tipo , donde es alguna matriz de restricción, es algún vector, entonces la matriz en este caso es una matriz fija . Si estamos hablando de un modelo de regresión lineal clásico , entonces la matriz de covarianza de las estimaciones de coeficientes es . Dado que se desconoce la varianza del error, se usa su estimación consistente o se usa la estimación no sesgada . Por tanto, el estadístico de Wald tiene entonces la forma: $gramo$ $H_{0}:~Ab=a$ $A$ $a$ $g(b)$ $A$ $V_{{{\sombrero {b}}}}=\sigma ^{2}(X^{T}X)^{{-1}}$ $\sigma^{2}$ ${\sombrero {\sigma}}^{2}=ESS/n$ $s^{2}=ESS/(nk)$

$W=(A{\hat {b}}-a)^{T}(A(X^{T}X)^{{-1}}A^{T})^{{-1}}(A {\sombrero {b}}-a)/s^{2}$

En un caso particular, cuando la matriz de restricciones es única (es decir, se verifica la igualdad de los coeficientes a algunos valores), entonces la fórmula se simplifica:

$W=({\sombrero {b}}-a)^{T}(X^{T}X)({\sombrero {b}}-a)/s^{2}$

Si sólo se considera una restricción lineal , entonces el estadístico de Wald será igual a $c^{T}b=a$

$W=(c^{T}ba)^{2}/(s^{2}c^{T}(X^{T}X)^{{-1}}c)$

En este caso, el estadístico de Wald resulta ser igual al cuadrado del estadístico -. $t$

Se puede demostrar que el estadístico de Wald para el modelo lineal clásico se expresa en términos de las sumas de los residuos cuadrados de los modelos largo y corto de la siguiente manera

$W={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{L}/n}}$ ,

donde el índice hace referencia al modelo largo (long), y al modelo corto (short). Si se usa una estimación no sesgada de la varianza del error, entonces es necesario usarla en la fórmula en lugar de . $L$ $S$ $norte$ $(nk)$

En particular, para probar la significancia de la regresión como un todo , por lo tanto, obtenemos la siguiente fórmula para la estadística de Wald $ESS_{S}=TSS$

$W={\frac {TSS-ESS}{ESS/n}}=n{\frac {1-ESS/TSS}{ESS/TSS}}={\frac {nR^{2}}{1-R^ {2}}}$

donde es el coeficiente de determinación . $R^2$

Relación con otras pruebas

Se demuestra que la prueba de Wald (W), la prueba de razón de verosimilitud (LR) y la prueba del multiplicador de Lagrange (LM) son pruebas asintóticamente equivalentes ( ). Sin embargo, para muestras finitas, los valores de las estadísticas no coinciden. Para restricciones lineales, se prueba la desigualdad . Por lo tanto, la prueba de Wald rechazará con más frecuencia que otras pruebas la hipótesis nula sobre las restricciones. En el caso de restricciones no lineales, la primera parte de la desigualdad se cumple, mientras que la segunda parte generalmente no. $LM=LR=W$ $LM\leqslant LR\leqslant W$

En lugar de la prueba de Wald, puede usar la prueba F , cuyas estadísticas se calculan mediante la fórmula:

$F={\frac{nk}{q}}W/n$

o incluso más simple , si se utilizó una estimación no sesgada de la varianza en el cálculo de las estadísticas de Wald. Este estadístico tiene en general la distribución asintótica de Fisher . En el caso de una distribución normal de datos, entonces sobre muestras finitas. $F=W/q$ $F(q,nk)$

Literatura

Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometría. - M. : Delo, 2004. - 576 p.
William H. Greene. Análisis econométrico . - Nueva York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 p.