Evaluación consistente

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Una estimación consistente en estadística matemática es una estimación puntual que converge en probabilidad al parámetro estimado.

Definiciones

Sea una muestra para una distribución en función del parámetro . Entonces la estimación se llama consistente si $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\theta \en \theta$ ${\sombrero {\theta}}\equiv {\sombrero {\theta}}(X_{1},\ldots,X_{n})$

{\sombrero {\theta }}\to \theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

en probabilidad en .

n\to\infty

De lo contrario, la estimación se considera inválida.

Una estimación se llama fuertemente consistente si ${\ sombrero {\ theta))$

{\sombrero {\theta }}\to \theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

casi seguro en .

n\to\infty

En la práctica, no es posible "ver" la convergencia "casi probablemente" porque las muestras son finitas. Así, para las estadísticas aplicadas, es suficiente exigir la consistencia de la estimación. Además, las estimaciones que serían consistentes, pero no muy consistentes, "en la vida" son muy raras. La ley de los grandes números para cantidades idénticamente distribuidas e independientes con un primer momento finito también se cumple en una versión reforzada, todas las estadísticas de orden extremo también convergen debido a la monotonicidad no solo en probabilidad, sino en casi certeza.

Característica

Si la estimación converge al valor verdadero del parámetro "raíz cuadrática media", o si la estimación no tiene sesgo asintótico y su varianza tiende a cero, entonces dicha estimación será consistente.

Propiedades

De las propiedades de convergencia de las variables aleatorias , tenemos que una estimación fuertemente consistente siempre es consistente. Lo contrario generalmente no es cierto.
Dado que la varianza de las estimaciones consistentes tiende a cero, a menudo a una tasa del orden de 1/n, las estimaciones consistentes se comparan entre sí mediante la varianza asintótica de una variable aleatoria (la expectativa asintótica de esta variable es igual a cero) . ${\sqrt {n}}({\sombrero {\theta }}-\theta )$

Conceptos relacionados

Se dice que una estimación es superconsistente si la varianza de la variable aleatoria tiende a un valor finito. Es decir, la tasa de convergencia de la estimación al valor verdadero es significativamente mayor que la de una estimación consistente. Superconsistentes, por ejemplo, son las estimaciones de los parámetros de regresión de series temporales cointegradas . $n({\sombrero {\theta }}-\theta )$

Ejemplos