El tomahawk es una herramienta en geometría para la trisección de ángulos , la tarea de dividir un ángulo en tres partes iguales. La figura consta de un semicírculo y dos segmentos y exteriormente se parece a un tomahawk , un hacha de los indios [1] [2] . La misma herramienta a veces se llamaba cuchillo de zapatero [3] , pero este nombre ya se usa ampliamente para otra figura, arbelos (un triángulo con lados semicirculares) [4] .
La figura principal del tomahawk consiste en un semicírculo ("cuchilla" del tomahawk), con una continuación del diámetro por un segmento igual al radio del semicírculo ("punto" del tomahawk), y otro segmento de longitud arbitraria ("mango" del tomahawk) perpendicular al diámetro. Para convertir una figura en una herramienta física, el asa y la punta se fabrican con un grosor distinto de cero, pero los segmentos de línea deben seguir siendo los límites de la figura. A diferencia de la trisección con una escuadra de carpintero , el lado opuesto del mango no tiene que ser un segmento paralelo al lado de trabajo [1] .
Algunas fuentes indican un círculo completo en lugar de un semicírculo [5] , o el lado del tomahawk también se expande a lo largo del diámetro [6] , pero estas modificaciones no afectan el funcionamiento del instrumento.
Cuando se usa un tomahawk para hacer una trisección en una esquina, el tomahawk se coloca de modo que el mango descanse sobre la parte superior de la esquina, la hoja (semicírculo) toca un lado de la esquina (adentro) y la punta del tomahawk descansa sobre el otro. lado de la esquina. Una de las líneas de la trisección pasará entonces a lo largo del mango, la otra línea pasará por el centro del semicírculo [1] [6] . Si el ángulo que se va a trisecar es demasiado agudo en relación con la longitud del mango del tomahawk, el ángulo no se puede trisecar con este procedimiento, pero esta limitación se puede eludir duplicando el ángulo hasta que sea posible la construcción, y luego dividiendo el ángulo tantas veces como sea posible. necesario por la mitad [2] .
Si la parte superior de la esquina se denota con la letra A , el punto de contacto de la hoja con la letra B , el centro del semicírculo con la letra C , la base del mango con la letra D y la parte superior de la punta con la letra E , entonces los triángulos ACD y ADE son triángulos rectángulos con una altura común y catetos iguales en la base. Por lo tanto, estos triángulos son congruentes . Dado que los lados AB y BC del triángulo ABC son el segmento de recta tangente y el radio del semicírculo, estos lados son iguales a AD y DC, respectivamente. Por lo tanto, el triángulo ACD es igual a los triángulos ACB y AED , lo que muestra que los ángulos en el vértice del ángulo A son [5] [6] .
Aunque el tomahawk en sí se puede construir usando un compás y una regla [7] y se puede usar para trisecar un ángulo, esto no contradice el teorema de 1837 de Pierre Wanzel de que un ángulo arbitrario no se puede dividir en tres partes usando solo un compás y una regla. [8 ] . La razón es que colocar un tomahawk construido en la posición correcta es una especie de nevsis , que no está permitido en la construcción con regla y compás [9] .
Se desconoce quién inventó el tomahawk [1] [10] , pero la referencia más antigua proviene de Francia en el siglo XIX. Las referencias se remontan a 1835, cuando apareció el tomahawk en Claude Lucien Bergerie Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers [1] . La misma construcción fue publicada por Henri Brocard en 1877 [11] . Brocard, a su vez, atribuyó la invención de la construcción al oficial naval francés Pierre-Joseph Gloten [12] [13] [14] .
