Trisección de ángulo

Trisección de un ángulo  : el problema de dividir un ángulo dado en tres partes iguales mediante la construcción de un compás y una regla . En otras palabras, es necesario construir las trisectrices del ángulo: los rayos que dividen el ángulo en tres partes iguales.

Junto con los problemas de cuadratura de un círculo y doblado de un cubo , es uno de los clásicos problemas de construcción sin solución conocidos desde la antigua Grecia .

La imposibilidad de construcción fue probada por Vanzel en 1837. A pesar de ello, en la prensa [1] [2] [3] [4] e incluso en algunas revistas científicas [5] de vez en cuando se publican formas erróneas de realizar la trisección de un ángulo con compás y regla.

No se puede construir

P. L. Vanzel demostró en 1837 que la trisección de un ángulo solo se puede resolver cuando la ecuación

resoluble en radicales cuadrados .

Por ejemplo,

• La trisección es factible para los ángulos de visión si el número entero no es divisible por 3.
• La trisección de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo con lados enteros cuyas longitudes son números coprimos es factible si y solo si la hipotenusa es el cubo de un número entero [6] .

Construcciones con herramientas adicionales

• Aunque la trisección de un ángulo generalmente no es factible con una regla y un compás, hay curvas con las que se puede hacer esta construcción. Caracol de Pascal o trisectriz, cuadratriz (también llamada trisectriz en la antigüedad), concoide de Nicomedes , secciones cónicas , espiral de Arquímedes [7] .
• La trisección es posible cuando se construye con origami plano . [ocho]

Trisección de un ángulo con nevsis

Arquímedes propone la siguiente construcción utilizando nevsis .

Supongamos que hay un ángulo (Fig. 1). Es necesario construir un ángulo cuyo valor sea tres veces menor que el dado: .

Construyamos un círculo de radio arbitrario con el centro en el punto . Deje que los lados del ángulo se intersequen con el círculo en los puntos y . Sigamos por el lado de la esquina original. Tomemos una regla de nevsis , coloquemos un diastema sobre ella y, usando una línea recta como guía, un punto como poste y un semicírculo como línea objetivo, construimos un segmento . Obtenemos un ángulo igual a un tercio del ángulo original .

Prueba

Considere un triángulo (Fig. 2). Como , entonces el triángulo es isósceles y los ángulos en su base son iguales: . El ángulo como ángulo exterior de un triángulo es .

El triángulo también es isósceles, los ángulos en su base son iguales y el ángulo en su vértice . Por otro lado, . Por lo tanto, , que significa .

Véase también

• caracol de pascal
• Matemáticas en la antigua Grecia
• El teorema de Morley  es una propiedad de las trisectrices de los ángulos de un triángulo.
• Nevsis  es un método de construcción que permite realizar la trisección de un ángulo (no es una solución al problema de la formulación clásica, ya que en lugar de un compás utiliza una regla que se desliza cerca del polo).

Notas

1. ↑ S. Kudriashov. El problema de Euclides  // Trud  : periódico. - Guardia Joven , 2002. - Nº 073 . (Ruso)
2. ↑ NA Dollezhal . Trisección de ángulos  // Ciencia y vida . - 1998. - Nº 3 . Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2007. (Ruso)
3. ↑ K. Popov. Trisección de ángulos  // Joven Técnico . - 1994. - Nº 12 . - S. 62-64 . Archivado desde el original el 14 de julio de 2014.
4. ↑ Exprofesor de matemáticas propone solución a problema irresoluble . periódico ruso. Consultado el 29 de abril de 2020. Archivado desde el original el 29 de abril de 2020. (Ruso)
5. ↑ Zharkov Vyacheslav Sergeevich. Dividir un ángulo en tres partes iguales usando un compás y una regla (Trisección de ángulos)  // SCI-ARTÍCULO. - 2016. - Nº 31 . Archivado desde el original el 13 de octubre de 2017.
6. ↑ Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Ángulos de trisección en triángulos pitagóricos. amer Matemáticas. Mensual 121 (2014), núm. 7, 625–631.
7. ↑ Tres famosos problemas de la antigüedad, 1963 , p. 33-45..
8. ↑ Petrunin A. Origami plano y construcción  // Kvant . - 2008. - Nº 1 . - S. 38-40 . (Ruso)

Literatura

• Belozerov S. E. Cinco problemas famosos de la antigüedad. Historia y teoría moderna. — Rostov n/d. , 1975.
• Historia de las matemáticas / Ed. A. P. Yushkevich . - M. : Nauka, 1970. - T. 1. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era.
• Prasolov VV Tres problemas de construcción clásicos . - M. : Nauka, 1992. - T. 62. - 80 p. - ( Clases populares de matemáticas ).
• Chistyakov V.D. Tres famosos problemas de la antigüedad. - M. : Estado. uch.-ped. editorial del Ministerio de Educación de la RSFSR, 1963. - S. 29-45. — 96 págs. .
• Shchetnikov A. I. ¿Cómo se encontraron algunas soluciones de tres problemas clásicos de la antigüedad? // Educación matemática. - 2008. - Nº 4 (48) . - Pág. 3-15 .
• Karpov Nikolái. Dispositivo para dividir un ángulo agudo en tres partes iguales  // V.O.F.E.M. . - 1891. - Nº 130 . - S. 218-219 . (Ruso)

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	J9U : 987007551116505171 LCCN : sh85137916