Interpolación trilineal

La interpolación trilineal es un método de interpolación multidimensional en el espacio euclidiano tridimensional. Aproxima linealmente el valor de la función en el punto utilizando valores conocidos en los puntos circundantes. $F$ $(x, y, z)$

La interpolación trilineal se usa a menudo en análisis numérico y gráficos por computadora. .

Comparación con interpolación lineal y bilineal

La interpolación trilineal es una extensión de la interpolación lineal que actúa en el espacio con dimensión , y la interpolación bilineal que actúa en el espacio con dimensión , al espacio de dimensión . Para interpolar los valores de la función en el punto , necesita conocer los valores en los 8 puntos adyacentes que lo rodean . $D=1$ $D=2$ $D=3$ $(x, y, z)$ $F$ $(x, y, z)$

Interpolación de funciones reales

Suponga que desea interpolar el valor de una función en el punto . Sean dados los valores de la función en los puntos circundantes , donde , , , y , , . Realizando secuencialmente la interpolación lineal para cada medida, se puede obtener la siguiente fórmula: $F$ $(x, y, z)$ $F$ $(x_{i},y_{j},z_{k})$ $i=1,2$ $j=1,2$ $k=1,2$ $x_{1}<x<x_{2}$ $y_{1}<y<y_{2}$ $z_{1}<z<z_{2}$

{\begin{alineado}f(x,y,z)&\approx {\frac {f(x_{1},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_ {1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z_{2}- z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1 })(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac{f( x_{2},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1}) }}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{1 })}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y- y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1 })(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z-z_{1}) .\end{alineado}}

En particular, en el cubo unitario ( ): $x_{1}=y_{1}=z_{1}=0,\quad x_{2}=y_{2}=z_{2}=1$

{\begin{alineado}f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot (1-x)(1-y)(1-z)+\\&+ f(0,0,1)\cdot (1-x)(1-y)z+\\&+f(0,1,0)\cdot (1-x)y(1-z)+\\& +f(0,1,1)\cdot (1-x)yz+\\&+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\&+f(1 ,0,1)\cdot x(1-y)z+\\&+f(1,1,0)\cdot xy(1-z)+\\&+f(1,1,1)\cdot xyz .\end{alineado}}