Interpolación linear
Interpolación lineal : interpolación por un binomio algebraico de una función dada en dos puntos y un segmento .
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Si se dan valores en varios puntos, la función se reemplaza por una función lineal por partes .
La fórmula de interpolación lineal es un caso especial de la fórmula de interpolación de Lagrange y la fórmula de interpolación de Newton .
Interpretación geométrica
Geométricamente, esto significa reemplazar la gráfica de la función con una línea recta que pasa por los puntos y .
![{\ estilo de visualización \ izquierda [x_ {0}, f (x_ {0}) \ derecha]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3252ba6fccac493d131ee7968122ce4334e65537)
![{\ estilo de visualización \ izquierda [x_ {1}, f (x_ {1}) \ derecha]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1f7ebaf0faf3315b7bb3ae3540632ed4162b14)
La ecuación para tal línea recta es:
de aquí a
![{\ estilo de visualización x \ en [x_ {0}, x_ {1}]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def76a228af280afd9088689c28b867f63ed8040)
Esta es la fórmula de interpolación lineal , mientras que:
donde es el error de la fórmula de interpolación lineal.
Si la función interpolada tiene una segunda derivada continua en el segmento de interpolación, entonces:
![R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d14ef042e12da2baf2eb844dffb877e1ac4af5)
Al mismo tiempo, con base en el teorema de Rolle , la estimación del error de interpolación es válida:
![{\displaystyle M_{2}=\max_{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|;\quad h=x_{1}-x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2157fab598eaf17e4a800808706d0bca1e6f55b3)
Aplicación
La interpolación lineal se usa para reducir el tamaño de tablas de funciones definidas por tablas, mientras que los valores de la función se dan en un número reducido de puntos, y sus valores en puntos que no están en la tabla se calculan usando la interpolación lineal. fórmula.
Otro ejemplo de la aplicación de la interpolación lineal es una representación aproximada de los datos como una función lineal por partes .