Túnel a través de una barrera rectangular

Hacer un túnel a través de una barrera rectangular es un efecto de túnel mecánico cuántico en una situación en la que la barrera potencial para una partícula tiene una forma rectangular, es decir, constante en la región de túnel . $u(x)$ ${\ estilo de visualización U (x) = V = \,}$ ${\ estilo de visualización 0 <x <a}$

Por lo general, se supone que en ambos lados de la barrera , la energía total de la partícula está asociada solo con el movimiento en la dirección (sin movimiento en el plano perpendicular ) y que la masa de la partícula no cambia. $tu=0$ $mi$ $X$ ${\ estilo de visualización yz}$ $metro$

Los valores típicos de los parámetros son: - del orden de un electronvoltio , - varios nanómetros , y las partículas de efecto túnel son partículas elementales (electrones, etc.). $V$ $a$

En el análisis de túneles, el problema es calcular la probabilidad de atravesar una barrera en una sola colisión de una partícula con ella. La barrera rectangular surge como la aproximación más sencilla para las barreras reales, lo que permite obtener una solución analítica sencilla. $T(E)$

Solución

Una partícula descrita por una onda plana cae en el límite de la barrera a la derecha y se refleja parcialmente con una amplitud Parte de la onda pasa a través de la barrera con una amplitud de probabilidad Expresiones para la función de onda de una partícula en tres regiones en el unidimensional caso: $R.$ $t.$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0);

\psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a);

\psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).

Se supone aquí que los vectores de onda son:

k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2))))),

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(VE)}{\hbar ^{2)))).

Dado que las propias funciones de onda en los límites de la barrera y sus primeras derivadas no deben tener discontinuidades, esta condición se utiliza para igualar las funciones de onda y sus derivadas en los límites y se obtienen cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:

{\ estilo de visualización 1 + r = A + B}

ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B

{\displaystyle Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a))

k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.

Sus soluciones:

A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1 }}}\derecho)=2

A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{ k_{2}}}\derecho)

B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_ {2}}}\derecho)

te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{ 2}}{k_{1}}}\right)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left (1+i{\frac{k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{ k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\ fracción {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)))

t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2} }}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}},

de donde se sigue la expresión para el coeficiente de transmisión:

T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1} {4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh^ {2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}} {4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh^{2}{k_{2}a}}}.

Nota. En este contexto, podemos considerar la situación de un potencial tipo delta , descrito por la función delta de Dirac , Este es el caso límite de una barrera rectangular que tiende a un potencial infinitamente alto y al mismo tiempo infinitamente estrecho (y por lo que el producto donde es cierta constante). entonces resulta $U(x)=g\delta(x).$ ${\ Displaystyle Va = g,}$ $gramo$ $T=(1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E)))^{-1}.$

Si la energía de la partícula está por encima de la barrera, entonces:

k_{2}={\sqrt {\frac {2m(EV)}{\hbar^{2))))),

y obtener otro resultado:

T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2 }k_{2}^{2}}}\sen ^{2}{k_{2}a}}}.

En , el coeficiente de transmisión cuántica es generalmente diferente de la unidad, en contraste con el caso clásico. Las no monotonicidades tienen lugar en esta región energética. ${\ Displaystyle E> V}$ ${\ estilo de visualización T (E).}$

Literatura

Griffiths, David J. Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.) (inglés) . —Prentice Hall , 2004.