Onda plana

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Una onda plana es una onda cuya superficie de fase constante es un plano.

El frente de onda plano tiene un tamaño ilimitado, el vector de velocidad de fase es perpendicular al frente.

Una onda plana es una solución particular de la ecuación de onda y un modelo teórico conveniente : tal onda no existe en la naturaleza, ya que un frente de onda plano comienza y termina en , lo cual, obviamente, no puede ser. Tal ola llevaría un poder infinito , y se necesitaría una energía infinita para crear la ola . La conveniencia del modelo de onda plana se debe a que una onda con un frente complejo (real) se puede representar como una superposición ( espectro ) de ondas planas utilizando la transformada de Fourier en variables espaciales. $-{\mathcal {\infty ))$ $+{\mathcal {\infty))$

Una onda cuasi plana es una onda cuyo frente está cerca de una onda plana en un área limitada. Si las dimensiones de la región son lo suficientemente grandes para el tamaño característico del fenómeno, entonces la onda casi plana puede considerarse aproximadamente como una onda plana. Una onda con un frente complejo puede aproximarse mediante una suma de ondas cuasi planas locales cuyos vectores de velocidad de fase son normales al frente real en cada uno de sus puntos. Ejemplos de fuentes de ondas electromagnéticas cuasi planas son las antenas de láser , reflector y lente : la distribución de fase del campo electromagnético en un plano paralelo a la apertura (agujero radiante) es casi uniforme. A medida que aumenta la distancia desde la apertura, el frente de onda adquiere una forma compleja.

Definición

La ecuación de cualquier onda es la solución de una ecuación diferencial llamada ecuación de onda . La ecuación de onda de la función se escribe como $A$

\Delta A({\vec {r}},t)={\frac {1}{v^{2}}}\,{\frac {\parcial ^{2}A({\vec { r)),t)}{\t parcial^{2}}},

donde está el operador de Laplace ;

\Delta

A(\vec{r},t)

es la función deseada;

r

es el radio vector del punto deseado;

v

es la velocidad de la onda;

t

- tiempo.

Caso unidimensional

En el caso unidimensional, la ecuación de onda toma la forma:

{\frac {\parcial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\parcial x^{2))}={\frac {1}{v^{2)) }\,{\frac {\parcial ^{2}A({\vec {r)),t)}{\parcial t^{2))},

donde esta la coordenada.

X

Una solución particular a esta ecuación para una onda armónica plana :

A(x,t)=A_{o}\cos \left(kx-\omega t+\varphi _{0}\right),

donde es la magnitud de la perturbación en un punto dado en el espacio y en el tiempo ;

A(x,t)

X

t

A_{o}

es la amplitud de la onda ;

k

es el número de onda ;

\omega

- frecuencia circular ;

\varphi_{0}

es la fase inicial de las oscilaciones .

El número de onda se expresa como:

k={\frac {2\pi }{\lambda )),

donde es el período espacial del cambio en la función de longitud de onda .

\lambda

La frecuencia circular de oscilación se expresa:

\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f,

donde es el periodo de oscilación ;

T

F

es la frecuencia de oscilación .

Cuando estas expresiones se sustituyen en la expresión de la onda, la onda también se puede describir mediante las expresiones:

A=A_{o}\cos \left[2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-{\cfrac {t}{T}}\right)+\varphi_{ 0}\derecho],

A=A_{o}\cos \left[2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-ft\right)+\varphi _{0}\right],

A=A_{o}\cos \left[{\cfrac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)+\varphi _{0}\right],

donde es la velocidad de fase de propagación de la onda.

v

Caso multidimensional

En el caso general, la ecuación de onda plana se escribe como:

A({\vec {r}},t)=A_{o}\cos \left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t+\varphi _ {0}\derecha),

donde es el vector de onda igual a

\vec{k}

{k}{\vec{n});

k

es el número de onda ;

{\vec{n}}

es el vector unitario normal dibujado al frente de onda ;

{\ vec {r))

es el radio vector del punto, es el producto escalar de los vectores y .

{\ estilo de visualización ({\ vec {k)), {\ vec {r}}\,)}

\vec{k}

{\ vec {r))

Notación compleja

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en la llamada forma compleja :

A(x,t)=A_{o}\,e^{i\left(kx-\omega t+\varphi _{0}\right)},

o en el caso multidimensional:

A({\vec {r}},t)=A_{o}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\ omega t+\varphi _{0}\right)}.

La corrección de esta fórmula se deriva de la fórmula de Euler para un exponente con un exponente complejo.

En términos generales, una función puede ser real o compleja . Pero como no hay números complejos en nuestro mundo real, los cálculos que tienen un significado físico finito siempre se reducen a calcular la parte real del módulo o el producto de un par de conjugaciones complejas de esta función. $A(\vec{r},t)$

La notación compleja de una función armónica también implica el concepto de una amplitud compleja igual a ${\widehat {A}}=A_{o}e^{i\varphi _{0}}.$

Después $A(x,t)={\widehat {A}}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t\ Correcto)}.$

El módulo de la función compleja da la amplitud de las oscilaciones, y el argumento da la fase inicial $\varphi_0.$

La forma exponencial de notación en algunos casos suele ser más conveniente que la trigonométrica.

Velocidad de onda

Energía de una onda plana elástica

Que se dé que $A(x,t) = A_o \cos \left( \omega t - kx + \varphi_0 \right).$

Asignemos en el espacio un cierto volumen pequeño , tan pequeño que en todos los puntos de este volumen la velocidad y la deformación de la partícula puedan considerarse constantes. $\Delta V$ $\cfrac {\parcial A} {\parcial t}$ $\cfrac {\parcial A} {\parcial x}$

Entonces el volumen considerado tiene energía cinética :

\Delta W_{k}={\cfrac {\rho }{2))\left({\cfrac {\parcial A}{\parcial t))\right)^{2}\Delta V,

y energía potencial de deformación elástica :

\Delta W_{p}={\cfrac {E}{2}}\left({\cfrac {\parcial A}{\parcial x}}\right)^{2}\Delta V={\ cfrac {\rho v^{2}}{2}}\left({\cfrac {\parcial A}{\parcial x}}\right)^{2}\Delta V.

Energía total:

W=\Delta W_{k}+\Delta W_{p}={\cfrac {\rho }{2)){\bigg [}\left({\cfrac {\parcial A}{\parcial t }}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\parcial A}{\parcial {x}}}\right)^{2}{\bigg ]}\Delta V.

La densidad de energía, respectivamente, es igual a:

\omega ={\cfrac {W}{\Delta V))={\cfrac {\rho}}{2)){\bigg [}\left({\cfrac {\parcial A}{\parcial t }}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\parcial A}{\parcial {x}}}\right)^{2}{\bigg ]}=\rho A ^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\left(\omega t-kx+\varphi_{0}\right).

Polarización

Literatura

Savelyev IV [Parte 2. Olas. Ondas elásticas.] // Curso de física general / Editado por L. I. Gladnev, N. A. Mikhalin, D. A. Mirtov. - 3ra ed. - M. : Nauka, 1988. - T. 2. - S. 274-315. — 496 pág. - 220.000 ejemplares.