Punto singular de la curva

Un punto singular de una curva es un punto en cuya vecindad no existe una parametrización suave . La definición exacta depende del tipo de curva que se esté estudiando.

Curvas algebraicas en el plano

Una curva algebraica en un plano se puede definir como un conjunto de puntos que satisfacen una ecuación de la forma , donde es una función polinomial : ${\ estilo de visualización \ izquierda (x, y \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización f \ izquierda (x, y \ derecha) = 0}$ ${\ estilo de visualización f \ izquierda (x, y \ derecha)}$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\puntos

Si el origen pertenece a la curva, entonces . Si , entonces el teorema de la función implícita garantiza la existencia de una función uniforme , tal que la curva toma la forma cerca del origen. De manera similar, si , entonces existe una función tal que la curva satisface la ecuación en la vecindad del origen. En ambos casos, hay un mapeo suave que define una curva en una vecindad del origen. Tenga en cuenta que en la vecindad del origen de coordenadas ${\ estilo de visualización \ izquierda (0,0 \ derecha)}$ $un=0$ ${\ estilo de visualización b_ {2} \ no = 0}$ $gramo$ ${\ estilo de visualización y = g \ izquierda (x \ derecha)}$ $b_{1}\not=0$ $h$ ${\ estilo de visualización x = h \ izquierda (y \ derecha)}$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

b_{1}={\parcial f \sobre \parcial x},\,b_{2}={\parcial f \sobre \parcial y}.

Los puntos singulares de la curva son aquellos puntos de la curva en los que ambas derivadas se anulan:

f(x,y)={\parcial f \sobre \parcial x}={\parcial f \sobre \parcial y}=0.

Puntos regulares

Deja que la curva pase por el origen. Poniendo , se puede representar en la forma ${\ estilo de visualización y = mx}$ $F$

f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\puntos

Si , entonces la ecuación tiene solución de multiplicidad 1 en el punto y el origen es el punto de contacto único de la curva con la recta . Si , entonces tiene una solución de multiplicidad 2 o mayor en el punto y la recta es tangente a la curva. En este caso, si , la curva tiene doble contacto con la línea . Si , y el coeficiente at no es igual a cero, entonces el origen es el punto de inflexión de la curva. Este razonamiento se puede aplicar a cualquier punto de la curva moviendo el origen a un punto dado. [una] $b_{1}+b_{2}m\not =0$ $f=0$ $x=0$ ${\ estilo de visualización y = mx}$ $b_{1}+b_{2}m=0$ $f=0$ $x=0$ ${\ estilo de visualización y = mx}$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$ ${\ estilo de visualización y = mx}$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $x^{3}$

Puntos dobles

Si en la ecuación anterior y , pero al menos uno de los valores , o no es igual a cero, entonces el origen se llama punto doble de la curva. Poner de nuevo , entonces tomará la forma $b_{1}=0$ ${\ estilo de visualización b_ {2} = 0}$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ ${\ estilo de visualización y = mx}$ $F$

f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m ^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\puntos .

Los puntos dobles se pueden clasificar por las raíces de la ecuación . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$

Puntos de auto-intersección

Si la ecuación tiene dos soluciones reales en , es decir, si , entonces el origen se llama punto de autointersección . La curva en este caso tiene dos tangentes diferentes correspondientes a dos soluciones de la ecuación . La función en este caso tiene un punto silla en el origen. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $metro$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $F$

Puntos aislados

Si la ecuación no tiene soluciones reales en , es decir, si , entonces el origen se llama punto aislado . En el plano real, el origen de coordenadas estará aislado de la curva, pero en el plano complejo, el origen de coordenadas no estará aislado y tendrá dos tangentes imaginarias correspondientes a dos soluciones imaginarias de la ecuación . La función en este caso tiene un extremo local en el origen. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $metro$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $F$

Caspas

Si la ecuación tiene una solución real en multiplicidad 2, es decir, si , entonces el origen se llama cúspide o cúspide . La curva en este caso cambia de dirección en el punto singular, formando una cúspide. La curva en el origen tiene una sola tangente, que puede interpretarse como dos tangentes coincidentes. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $metro$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$

Clasificación adicional

El término nudo ( nodo en inglés ) se utiliza como nombre general para puntos aislados y puntos de autointersección. El número de nodos y el número de cúspides de una curva son dos invariantes que se utilizan en las fórmulas de Plücker .

Si una de las soluciones de la ecuación es también una solución de la ecuación , entonces la rama correspondiente de la curva tiene una inflexión en el origen. En este caso, el origen de coordenadas se denomina punto de autotangencia . Si ambas ramas tienen esta propiedad, entonces es un divisor y el origen se llama punto biflektoidal (punto de doble contacto). [2] $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}$

Múltiples puntos

En el caso general, cuando todos los términos de grado menor que son iguales a cero, y siempre que al menos un término de grado no sea igual a cero, decimos que la curva tiene un punto múltiplo de orden k . En este caso, la curva tiene tangentes en el origen, pero algunas de ellas pueden ser imaginarias o coincidir. [3] $k$ $k$ $k$

Curvas paramétricas

Una curva paramétrica en R 2 se define como la imagen de la función g : R → R 2 , g ( t ) = ( g 1 ( t ), g 2 ( t )). Los puntos singulares de tal curva son los puntos en los que

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

Se pueden especificar muchas curvas en ambas vistas, pero las dos asignaciones no siempre concuerdan. Por ejemplo, la cúspide se puede encontrar tanto para la curva algebraica x 3 − y 2 = 0 como para la curva paramétrica g ( t ) = ( t 2 , t 3 ). Ambas definiciones de curva dan un punto singular en el origen. Sin embargo, el punto de autointersección la curva y 2 − x 3 − x 2 = 0 en el origen es singular para una curva algebraica, pero cuando g ( t ) = ( t 2 −1, t ( t 2 −1)) se especifica paramétricamente, las derivadas del par g ′( t ) nunca desaparecen y, por lo tanto, el punto no es singular en el sentido anterior.

Se debe tener cuidado al elegir la parametrización. Por ejemplo, la línea y = 0 se puede definir paramétricamente como g ( t ) = ( t 3 , 0) y tendrá un punto singular en el origen. Sin embargo, si se parametriza como g ( t ) = ( t , 0), no tendrá puntos singulares. Por lo tanto, técnicamente es más correcto hablar de puntos singulares de un mapeo suave en lugar de puntos singulares de una curva.

Las definiciones anteriores se pueden extender a curvas implícitas , que se pueden definir como el conjunto de ceros f −1 (0) de una función uniforme arbitraria . Las definiciones también se pueden extender a curvas en espacios de mayor dimensión.

Según el teorema de Hassler Whitney , [4] [5] cualquier conjunto cerrado en R n es un conjunto de soluciones f −1 (0) para alguna función suave f : R n → R . Por lo tanto, cualquier curva paramétrica se puede definir como una curva implícita.

Tipos de puntos singulares

Ejemplos de puntos singulares de varios tipos:

Punto aislado : x 2 + y 2 \u003d 0,
Intersección de dos rectas : x 2 − y 2 = 0,
Casp ( cúspide ): x 3 − y 2 = 0,
Cúspide en forma de pico: x 5 − y 2 = 0.

Véase también

Notas

↑ Hilton Capítulo II § 1
↑ Hilton Capítulo II § 2
↑ Hilton Capítulo II § 3
↑ Brooker y Larden. Gérmenes diferenciales y catástrofes. — Sociedad Matemática de Londres. Apuntes de clase 17. Cambridge. — 1975.
↑ Bruce y Giblin, Curvas y singularidades , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (tapa blanda)

Literatura

Harold Hilton. Curvas algebraicas planas . —Oxford, 1920.