Teorema de la función implícita

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El teorema de la función implícita es un nombre general para los teoremas que garantizan la existencia local y describen las propiedades de una función implícita , es decir, la función

y=f(x)

. .

f:X\a Y

dada por la ecuación

F(x,y)=z_{0}

. .

F:X\veces Y\a Z

donde se fija el valor. $z_{0}\en Z$

Caso unidimensional

El teorema de función implícita más simple es el siguiente.

Si la función $F:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

es continua en alguna vecindad del punto $(x_{0},y_{0})$
$F(x_{0},y_{0})=0$ y
para fixed , la función es estrictamente monótona en la vecindad dada, $X$ ${\ estilo de visualización F (x, y)}$ $y$

entonces existe un intervalo bidimensional tal , que es una vecindad del punto , y una función continua tal , que para cualquier punto $yo=yo_{x}\veces yo_{y}$ $(x_{0},y_{0})$ $f:I_{x}\a I_{y}$ $(x,y)\en yo$

F(x,y)=0\Flecha izquierda-derecha y=f(x)

Por lo general, se supone adicionalmente que la función es continuamente diferenciable en una vecindad del punto . En ese caso, la monotonicidad estricta se sigue de la condición , donde denota la derivada parcial con respecto a . Además, en este caso la función también es continuamente diferenciable y su derivada se puede calcular mediante la fórmula $F$ $(x_{0},y_{0})$ $F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0$ $F_{y}'$ $F$ $y$ $F$

f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x)))).

Ejemplo

Considere la función y la ecuación correspondiente $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$

F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0

que define el círculo unitario en el plano. Es imposible representar el círculo completo como un gráfico de cualquier función . De hecho, cada valor corresponde a dos valores diferentes . Sin embargo, es posible representar una parte de un círculo en forma de gráfico. Por ejemplo, la gráfica de una función definida en el segmento define la mitad superior del círculo y la gráfica de la función define su mitad inferior. $y=f(x)$ ${\ estilo de visualización x \ en (-1,1)}$ ${\ estilo de visualización \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$ ${\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2))))$ ${\ estilo de visualización x \ en [-1,1]}$ $g_{2}(x)=-g_{1}(x)$

El teorema de la función implícita tiene carácter local y dice que en una pequeña vecindad de cualquier punto de la circunferencia donde se cumple la condición , la parte de la circunferencia situada en esta vecindad se puede representar como la gráfica de una función suave. Esta condición se cumple, por ejemplo, en el punto de la figura. Solo hay dos puntos en el círculo ( y un punto diametralmente opuesto a él) en los que se viola la condición. Obviamente, en una vecindad arbitrariamente pequeña de cada uno de estos puntos, una parte del círculo no puede representarse como un gráfico de ninguna función . $F_{y}(x,y)\neq 0$ $A$ $B$ $F_{y}(x,y)\neq 0$ $y=f(x)$

Caso multidimensional

Sean y espacios con coordenadas y , respectivamente. Considere un mapeo que mapea alguna vecindad de un punto en el espacio . $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $x=(x_{1},\puntos,x_{n})$ $y=(y_{1},\puntos,y_{m})$ $F=(F_{1},\ldots,F_{m}),$ $F_{i}=F_{i}(x,y),$ $W$ $(x_{0},y_{0})\en \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}$ $\mathbb{R} ^{m}$

Suponga que el mapeo satisface las siguientes condicionesː $F$

$F\en C^{{k}}(W),$ $k\geq 1,$ es decir, es una vez continuamente diferenciable en $F$ $k$ $W,$
$F(x_{0},y_{0})=0,$
el jacobiano del mapeo es distinto de cero en el punto , es decir, el determinante de la matriz es distinto de cero. $y\mapsto F(x_{0},y)$ $y_0,$ ${\frac {\F parcial}{\y parcial}}(x_{0},y_{0})$

Entonces hay vecindades y puntos y en los espacios y , respectivamente, y , y las aplicaciones son tales que $tu$ $V$ $x_{0}$ $y_0$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $U\veces V\subconjunto W$ $f:U\a V,$ $f\en C^{{k}}(U),$

F(x,y)=0\Flecha izquierda-derecha y=f(x)

para todos y . El mapeo está definido de forma única. $x\en ti$ $y\en V$ $F$

Una generalización natural del teorema anterior al caso de aplicaciones no suaves es el siguiente teoremaː [1]

Suponga que el mapeo satisface las siguientes condicionesː $F$

$F$ es continua en $W,$
$F(x_{0},y_{0})=0,$
hay vecindades de puntos y en los espacios y respectivamente, y , tal que para cada mapeo fijo es uno a uno en . $tu$ $V$ $x_{0}$ $y_0$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$ $U\veces V\subconjunto W$ $x\en ti$ $y\mapas a F(x,y)$ $V$

Entonces existe una función continua tal que $f:U\a V$

F(x,y)=0\Flecha izquierda-derecha y=f(x)

para todos y . $x\en ti$ $y\en V$

Véase también

Teorema de la función inversa

Literatura

Zorich V. A. Análisis matemático, Cualquier edición
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentos del análisis matemático, 3.ª ed., Parte 1, M., 1971
Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 5ª ed., M., 1981
Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 2ª ed., M., 1965
Nikolsky S. M. Curso de análisis matemático, 2ª ed., volúmenes 1-2, M., 1975
Pontryagin L. S. Ecuaciones diferenciales ordinarias, 4.ª ed., M., 1974 - § 33
Schwartz L. Análisis, trad. del francés, volumen 1, M., 1972

Notas

↑ Jittorntrum, K. Un teorema de función implícita. J. Optim. teoría manzana. 25 (1978), núm. 4, 575-577.