Ultra límite

Un ultralímite es una construcción que permite definir un límite para una amplia clase de objetos matemáticos. En particular, funciona para secuencias de números y secuencias de puntos en un espacio métrico, y permite generalizaciones a secuencias de espacios métricos y secuencias de funciones sobre ellos.

Esta construcción se usa a menudo para evitar saltar a una subsecuencia varias veces.

Esta construcción utiliza la existencia de un ultrafiltro no principal , cuya demostración a su vez utiliza el axioma de elección .

Ultrafiltro no principal

Recuérdese que un ultrafiltro sobre el conjunto de los números naturales es un conjunto de subconjuntos del conjunto , que se cierra bajo la operación de intersección y transición a un superconjunto, y para cualquier subconjunto contiene , o complemento . $\omega$ $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {N}$ $X\subconjunto \mathbb {N}$ $X$ $\mathbb {N} \barra invertida X$

Un ultrafiltro se llama no principal si no contiene conjuntos finitos.

Definiciones

El siguiente es un ultrafiltro no principal en el conjunto de números naturales . $\omega$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {N}}$

Ultralímite de puntos

Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico , entonces el punto se llama -límite , si para cada subconjunto ${\ estilo de visualización (x_ {n}) _ {n \ en \ mathbb {N}))$ $METRO$ $x_{\omega }\en M$ $\omega$ $(x_{n})$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\))

contenido en . $\omega$

En este caso, se escriben y se denotan por o con . ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))$ $x_{n}\to x_{\omega }$ ${\ estilo de visualización n \ a \ omega}$

Ultralimite de espacios

Sea una sucesión de espacios métricos . Considere todas las sucesiones posibles de puntos . Para dos de tales secuencias, definimos la distancia como $(M_{n})_{n\en \mathbb {N} }$ ${\ estilo de visualización x_ {n} \ en M_ {n}}$

|(x_{n})-(y_{n})|=\lim _{n\to \omega }|x_{n}-y_{n}|_{M_{n)).

La función es una pseudométrica con valores en . El espacio métrico correspondiente se llama el límite de la secuencia . $((x_{n}),(y_{n}))\mapsto |(x_{n})-(y_{n})|$ ${\ estilo de visualización [0, \ infinito]}$ $\infty$ ${\displaystyle M_{\omega ))$ $\omega$ $Minnesota}$

En este caso, se escriben y se denotan por o con . ${\displaystyle M_{\omega }=\lim _{n\to \omega }M_{n))$ ${\displaystyle M_{n}\to M_{\omega ))$ ${\ estilo de visualización n \ a \ omega}$

Ultrapoder

El ultralímite de una secuencia constante de espacios métricos para un ultrafiltro también se denomina ultragrado, -grado, ultracompletado o -completado. Por lo general, el -grado se denota por . $M_{n}=M$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $METRO$ ${\displaystyle M^{\omega ))$

${\displaystyle M^{\omega ))$ coincide con sólo si es compacto. $METRO$ $METRO$

Propiedades

Si el -límite de una secuencia de puntos existe, entonces es único. $\omega$
Si el espacio métrico es compacto, entonces el límite de cualquier secuencia de puntos existe y es único. $\omega$
- En particular, cualquier secuencia acotada de números reales tiene un límite bien definido en . $\omega$ $\matemáticas {R}$
$\omega$ -límite de una secuencia es su límite privado .
- En particular, si , entonces en el sentido estándar . ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty}x_{n))$ ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n))$
El ultralímite de secuencia puede ser diferente del ultralímite de subsecuencia.
Igualdad $f(\lim _{n\a \omega }x_{n})=\lim _{n\a \omega }f(x_{n})$

se cumple para una función continua arbitraria definida en el punto .

F

{\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))

En particular: $\lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega } y_{n}$ $\lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n} \a \omega }y_{n})$

Véase también

ultrafiltro