Un ultralímite es una construcción que permite definir un límite para una amplia clase de objetos matemáticos. En particular, funciona para secuencias de números y secuencias de puntos en un espacio métrico, y permite generalizaciones a secuencias de espacios métricos y secuencias de funciones sobre ellos.
Esta construcción se usa a menudo para evitar saltar a una subsecuencia varias veces.
Esta construcción utiliza la existencia de un ultrafiltro no principal , cuya demostración a su vez utiliza el axioma de elección .
Recuérdese que un ultrafiltro sobre el conjunto de los números naturales es un conjunto de subconjuntos del conjunto , que se cierra bajo la operación de intersección y transición a un superconjunto, y para cualquier subconjunto contiene , o complemento .
Un ultrafiltro se llama no principal si no contiene conjuntos finitos.
El siguiente es un ultrafiltro no principal en el conjunto de números naturales .
Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico , entonces el punto se llama -límite , si para cada subconjunto
contenido en .
En este caso, se escriben y se denotan por o con .
Sea una sucesión de espacios métricos . Considere todas las sucesiones posibles de puntos . Para dos de tales secuencias, definimos la distancia como
La función es una pseudométrica con valores en . El espacio métrico correspondiente se llama el límite de la secuencia .
En este caso, se escriben y se denotan por o con .
El ultralímite de una secuencia constante de espacios métricos para un ultrafiltro también se denomina ultragrado, -grado, ultracompletado o -completado. Por lo general, el -grado se denota por .
coincide con sólo si es compacto.