Oscilador van der pol

El oscilador de Van der Pol es un oscilador amortiguado no lineal que obedece a la ecuación

{d^{2}x \sobre dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \sobre dt}+x=0

, dónde

X

es la coordenada del punto, dependiendo del tiempo ;

t

\mu

es el coeficiente que caracteriza la no linealidad y la fuerza de amortiguamiento de las oscilaciones.

Historia

El oscilador Van der Pol fue propuesto por el ingeniero y físico holandés Balthasar van der Pol mientras estaba en Philips . [1] Van der Pol encontró oscilaciones estables, a las que llamó oscilaciones de relajación, [ 2] conocidas como "ciclos límite" , que siempre están cerca de las frecuencias naturales de las ondas. Esta fue una de las primeras observaciones del caos determinista . [cuatro]

La ecuación de Van der Pol se utiliza tanto en física como en biología . Así, por ejemplo, en biología se creó el modelo de Fitz Hugh-Nagumo, esta ecuación también se utilizó en sismología para modelar fallas geológicas . [5]

Caso bidimensional

Usando el teorema de Liénard, se puede demostrar que el sistema tiene un ciclo límite. De este teorema se sigue que . De esto podemos derivar [6] las ecuaciones del oscilador de van der Pol para el caso bidimensional: $y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu}}{\frac {dx}{dt}}$

\left\{{\begin{alineado}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\ \{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{alineado}}\right.

También puede hacer otra sustitución y obtener $y={\frac{dx}{dt))$

\left\{{\begin{alineado}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})yx\ fin{alineado}}\derecha.

Oscilador con vibraciones libres

El oscilador Van der Pol tiene dos modos interesantes: at y at . Es obvio que el tercer modo - - no existe, ya que la atenuación en el sistema no puede ser negativa. $\mu=0$ $\mu>0$ $\mu<0$

1) Cuando , es decir, el oscilador se calcula sin amortiguamiento, entonces las ecuaciones anteriores se convierten a la forma

\mu=0

{d^{2}x \sobre dt^{2}}+x=0

. Esta es la ecuación de un oscilador armónico . 2) Para , el sistema tiene ciertos ciclos límite. Cuanto más lejos de cero, menos son las oscilaciones del oscilador similares a las armónicas.

\mu>0

\mu

Vibraciones forzadas

Las oscilaciones forzadas del oscilador de Van der Pol, con y sin pérdidas de energía, se calculan mediante la fórmula

{d^{2}x \sobre dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \sobre dt}+x=A\sin(\omega t)

, dónde

A

es la amplitud de la señal armónica externa,

\omega

es su frecuencia angular.

Notas

↑ Cartwright, ML, "Balthazar van der Pol" Archivado el 18 de octubre de 2019 en Wayback Machine , J. London Math. soc. 35 , 367 - 376 (1960).
↑ Van der Pol, B., "Sobre la relajación-oscilaciones", The London, Edinburgh and Dublin Phil. revista & J. de Sci. , 2 (7), 978-992 (1927).
↑ Van der Pol, B. y Van der Mark, J., "Frequency demultiplication", Nature , 120 , 363-364, (1927).
↑ Kanamaru, T., "Van der Pol oscilator" Archivado el 9 de julio de 2009 en Wayback Machine , Scholarpedia , 2 (1), 2202, (2007).
↑ Cartwright, J., Eguiluz, V., Hernandez-Garcia, E. and Piro, O., "Dynamics of elastic excitable media", Internat. J. Bifur. ChaosAppl. ciencia Ing. , 9 , 2197-2202, (1999).
↑ Kaplan, D. y Glass, L., Comprender la dinámica no lineal , Springer, 240-244, (1995)

Véase también

Enlaces

Ejemplos de retratos de fase de un oscilador .