Modelo FitzHugh - Nagumo

El modelo de FitzHugh-Nagumo es un modelo matemático que lleva el nombre de Richard FitzHugh (1922-2007), quien en 1961 publicó [A: 1] [B: 1] el correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales denominado modelo de Bonhoeffer-van der Pol , y D Nagumo (1926-1999) [1] , quien propuso un sistema de ecuaciones similar al año siguiente.

Formal definición

[A: 1] se derivó originalmente como una generalización de la ecuación de van der Pol y un modelo propuesto por el químico alemán Karl-Friedrich Bonhoeffer .

Usando la transformación de Liénard convencional [A: 2] :

FitzHugh reescribió el modelo de van der Pol en forma normal de Cauchy:

Además, al agregar nuevos miembros, R. FitzHugh obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, que designó como el "modelo de Bonhoeffer-van der Pol" (en el original: el modelo de Bonhoeffer-van der Pol (BVP para abreviar)) :

donde _ Para un caso particular, este modelo degenera en el oscilador de Van der Pol .

En 1991 Arthur Winfrey[A: 3] realizó un estudio de este modelo para el caso de un entorno bidimensional, y también propuso una clasificación de variantes de escritura de este modelo por parte de diferentes autores de artículos científicos. La versión del modelo de entrada propuesto por R. FitzHugh, [A: 1] corresponde al formato 1 , según A. Winfrey. En el formato 4 [A:4] , se puede reescribir como

En su forma canónica, está escrito [A: 4] como

.

Con el modelo de Bohoeffer-van der Pol, que el propio R. FitzHugh presentó en 1961, el modelo de FitzHugh-Nagumo, comúnmente utilizado en las ciencias biológicas, coincide dentro de los signos. En la tradición de modelar procesos fisiológicos, este sistema dinámico se escribe como:

donde es una función adimensional similar al potencial transmembrana en un tejido biológico excitable y es una función adimensional similar a una corriente de recuperación lenta. Con una cierta combinación de parámetros del sistema de ecuaciones, se observa una respuesta de todo o nada : si un estímulo externo excede un cierto valor de umbral, el sistema demostrará un movimiento alternativo característico (excursión) en el espacio de fase hasta que las variables y no "relajarse" a los estados anteriores. Este comportamiento es típico de los picos excitados en una neurona por la estimulación de una señal de entrada externa.

La dinámica de este sistema se puede describir como un cambio entre las ramas izquierda y derecha de la isoclina nula cúbica .

Importancia en la ciencia

Este modelo es un ejemplo de sistemas singularmente perturbados [B: 2] y en él se producen oscilaciones de relajación .

Mientras que la ecuación de van der Pol (y el sistema correspondiente) es un modelo de ciclo límite conceptual , la ecuación de Bonhoeffer-van der Pol (y el sistema correspondiente) se clasifica como un modelo conceptual de procesos de ondas automáticas . Sobre esta base, se ha creado una gran cantidad de modelos sujetos, formalmente cinéticos, de sistemas oscilatorios químicos y biológicos. Ampliamente utilizado como " modelo básico para un gran número de problemas biofísicos ". [2]

Papel en fisiología

En fisiología, el comportamiento de un tejido excitable (por ejemplo, una neurona) se utiliza como modelo matemático conceptual. El modelo de FitzHugh-Nagumo puede verse como una versión simplificada del modelo de Hodgkin-Huxley , que explica con cierto detalle la dinámica de activación y desactivación de una neurona pulsante.

Fenómenos de bifurcación de la demora y la memoria

Se ha sugerido [A: 4] que las primeras observaciones de la " memoria de bifurcación " deben considerarse los fenómenos descritos en 1961 por FitzHugh [A: 1] : una parte de las trayectorias de fase se mueve a lo largo de la separatriz. FitzHugh los designa con las palabras “fenómenos cuasi-umbral”, enfatizando así el hecho de que los resultados obtenidos en sus experimentos diferían significativamente de los que se observaban habitualmente en trabajos experimentales sobre la fisiología de los tejidos excitables y que fueron designados por los fisiólogos como “ efecto umbral” o respuesta según el principio “ todo o nada ”.

En 1989 se publicaron resultados adicionales sobre los fenómenos de bifurcación del retraso y la memoria en el sistema FitzHugh-Nagumo. [R:5]

Véase también

Notas

  1. ↑ Jin'ichi Nagumo, Suguru Arimoto y Shuji Yoshizawa propusieron una solución similar. [una]
  2. ↑ Mishchenko, 1995 , Capítulo 2, pág. 114–132.

Literatura

Libros

  1. ↑ FitzHugh R. Modelos matemáticos de excitación y propagación en nervio. Capítulo 1 // Ingeniería Biológica  (Español) / HP Schwan. - N. Y. : McGraw-Hill Book Co., 1969. - P. 1-85.
  2. ↑ Mishchenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Movimientos periódicos y procesos de bifurcación en sistemas singularmente perturbados . - M. : Fizmatlit, 1995. - 336 p. — ISBN 5-02-015129-7 .

Artículos

  1. ↑ 1 2 3 4 FitzHugh R. Impulsos y estados fisiológicos en modelos teóricos de membrana nerviosa   // Biophys . J.: revista. - 1961. - vol. 1 . — págs. 445–466 .
  2. ↑ Liénard A. Étude des oscilations entretenues  (francés)  // Revue Générale de l'Électricité: revista. - 1928. - Vol. 23 . — P. 901–912, 946–954 .
  3. ↑ Winfree AT Variedades de comportamiento de ondas espirales: enfoque de un experimentalista a la teoría de los medios excitables  //  Caos: diario. - 1991. - vol. 1 , no. 3 . — págs. 303–334 .
  4. ↑ 1 2 3 Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. Sobre la cuestión del estado actual de la teoría de las oscilaciones  // Preprints of the IAM im. MV Keldysh  : diario. - 2019. - Nº 44 . — Pág. 1–32 . — ISSN 2071-2901 . -doi : 10.20948 / prepr-2019-44 .
  5. ↑ Baer SM , Erneux T. , Rinzel J. [ http://www.jstor.org/stable/2102057 El paso lento a través de una bifurcación de Hopf: retraso, efectos de memoria y resonancia]  //  SIAM J. Appl . Matemáticas. : revista. - 1989. - vol. 49 , núm. 1 . — págs. 55–71 .

Lecturas adicionales

Enlaces