Ciclo límite

El ciclo límite es una de las opciones posibles para el estado estacionario del sistema en la teoría de sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales ; el ciclo límite de un campo vectorial en el plano de fase o, más generalmente, en alguna variedad bidimensional , es una trayectoria cerrada (periódica) de este campo vectorial, en cuya vecindad no hay otras trayectorias periódicas. Equivalente es la afirmación de que cualquier trayectoria lo suficientemente cercana al ciclo límite tiende hacia él ya sea en tiempo directo o inverso.

Los teoremas de Poincaré-Bendixson y Andronov-Pontryagin establecen que un sistema típico con tiempo continuo en un plano (físicamente hablando, cuyo estado está dado por dos parámetros reales, digamos, voltaje y corriente, o la posición y velocidad de un punto en una recta línea) sólo puede tender a una posición de equilibrio o al ciclo límite.

Dinámica en la vecindad del ciclo límite

Como sigue de la definición, en cada lado el ciclo límite es repulsivo o atractivo. Si el comportamiento es el mismo en ambos lados, el ciclo se llama repulsivo o atractivo , respectivamente . Si por un lado hay atracción y por otro repulsión, hablan de un ciclo semiestable .

El comportamiento de las trayectorias cercanas al ciclo límite se describe mediante el mapeo de Poincaré sobre el segmento transversal al ciclo; para este mapeo, se fija el punto correspondiente al ciclo. Así, un ciclo es atractivo o repulsivo si y sólo si este punto es respectivamente atractivo o repulsivo. Un ciclo se llama hiperbólico si el punto fijo correspondiente es hiperbólico, es decir, tiene una derivada diferente de . En este caso, si el módulo derivado es mayor que 1, el ciclo es inestable, si es menor, es estable.

Vale la pena señalar que generalmente, en particular, para dinámicas en un plano o en una esfera (generalmente, excluyendo solo el caso de dinámicas en una variedad no orientable), el mapa de Poincaré conserva la orientación, por lo que a menudo se habla simplemente de la derivada del mapa de Poincaré, sin especificar tomando su módulo por separado.

Los ciclos límite hiperbólicos no se destruyen con pequeñas perturbaciones: si el campo vectorial original tenía un ciclo límite hiperbólico, cualquier campo cercano a él también tendrá un ciclo límite hiperbólico cercano al original.

Bifurcaciones

Bifurcación del nódulo en silla de montar

La bifurcación más simple asociada con los ciclos límite es la bifurcación del nodo de silla de montar : dos ciclos límite hiperbólicos, repulsivo y atractivo, se acercan entre sí. En el momento de la bifurcación, se fusionan, formando un ciclo semiestable, que desaparece con un nuevo cambio en el parámetro.

Desde el punto de vista de la complejización (en el caso de un campo vectorial analítico), esta bifurcación puede considerarse como una salida del ciclo límite hacia el dominio complejo .

Desastre del cielo azul

Sin embargo, en la botella de Klein o cuando se consideran ciclos límite complejos, también es posible una bifurcación más compleja: la llamada catástrofe del cielo azul . Es decir, cuando el parámetro tiende al valor crítico, la longitud del (¡uno!) ciclo límite comienza a crecer, tendiendo al infinito, y por lo tanto no continúa hasta el momento mismo de la bifurcación.

Ejemplo físico: oscilador Van der Pol

Problema 16 de Hilbert

La segunda parte del problema número 16 de Hilbert se refiere al posible número y disposición de los ciclos límite de campos vectoriales polinómicos en el plano. A diferencia de la primera parte, algebraica, que requiere describir la disposición de los óvalos de una curva algebraica de un grado dado, incluso para campos vectoriales cuadráticos, se desconoce la existencia de un límite superior uniforme en el número de ciclos límite.

Véase también

Literatura