Mapeo de Lipschitz

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 10 de enero de 2022; la verificación requiere 1 edición .

El mapeo de Lipschitz ( Mapeo de Lipschitz [1] , también -Mapeo de Lipschitz ) es un mapeo que aumenta la distancia entre las imágenes de puntos en la mayoría de los tiempos, donde se llama la constante de Lipschitz de la función dada. El nombre de Rudolf Lipschitz . $L$ $L$ $L$

Definición

Un mapeo de un espacio métrico a un espacio métrico se llama Lipschitz si existe tal constante ( la constante de Lipschitz de este mapeo) que para cualquier . Esta condición se llama condición de Lipschitz . Un mapa con un (mapa de 1-Lipschitz) también se denomina mapa corto . $F$ $(X,\;\rho _{X})$ $(Y,\;\rho _{Y})$ $L$ $\rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)$ $x,\;y\en X$ $L=1$

Se dice que una aplicación de Lipschitz es bi -Lipschitz si tiene una inversa que también es Lipschitz. $f\dos puntos X\a Y$ $f^{{-1}}\dos puntos Y\a X$

Un mapeo se llama colipschitz si existe una constante tal que para cualquiera y existe tal que . $f\dos puntos X\a Y$ $L$ $x\en X$ $y\en y$ $x'\en f^{{-1}}(y)$ $\rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x')$

Historia

Mapeos con propiedad:

|f(x)-f(y)|\leqslant L{\cdot }|xy|^{\alpha },\quad \alpha \leqslant 1

fue considerado por primera vez por Lipschitz en 1864 para funciones reales como una condición suficiente para la convergencia de la serie de Fourier a su función. Posteriormente, se hizo habitual llamar a esta condición la condición de Lipschitz solo para y para la condición de Hölder . $\alpha=1$ $\alfa<1$

Propiedades

Cualquier mapeo de Lipschitz es uniformemente continuo .

La superposición de un Lipschitz y una función integrable es integrable.

( Lema de Lipschitz ) Una función continuamente diferenciable en un subconjunto compacto del espacio euclidiano satisface la condición de Lipschitz. La afirmación contraria no es cierta.

El teorema de Rademacher establece que cualquier función de Lipschitz definida en un conjunto abierto en el espacio euclidiano es diferenciable en casi todas partes.

El teorema de extensión de Kirschbrown establece que cualquier aplicación de -Lipschitz de un subconjunto de un espacio euclidiano a otro espacio euclidiano puede extenderse a una aplicación de -Lipschitz a todo el espacio. $L$ $L$

Variaciones y generalizaciones

La noción de función de Lipschitz se generaliza naturalmente a funciones con un módulo de continuidad acotado , ya que la condición de Lipschitz es equivalente a la condición . $\omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta$
Exponente de titular

Notas

↑ Federer G. Teoría de la medida geométrica. - 1987. - 760 págs.