Módulo de continuidad

Para cualquier función definida sobre el conjunto , podemos introducir el concepto de módulo de continuidad de esta función, denotado por . El módulo de continuidad también es una función, por definición igual a $F$ $mi$ $\omega _{f}(\delta )$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|f(x_{1})-f(x_{2})|\colon (x_{1},\;x_{2}\ en E)\land |x_{1}-x_{2}|<\delta \},

o el límite superior de la oscilación de la función sobre todos los subsegmentos de longitud inferior a . También en la literatura hay otras designaciones: y (con menos frecuencia) . $mi$ $\delta$ $\omega (f,\;\delta )$ $\omega (\delta,\;f)$

Propiedades del módulo de continuidad

La función presentada tiene una serie de propiedades interesantes.

De cualquier manera , es no negativo. $\delta$
La función no decrece.
Una función es semiaditiva si es convexa: $mi$ $\omega _{f}(\delta _{1}+\delta _{2})\leqslant \omega _{f}(\delta _{1})+\omega _{f}(\delta _{2} }).$
Por definición, en el punto 0, el módulo de continuidad es 0: $\omega _{f}(0){\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}0.$
El teorema de continuidad uniforme se puede formular de la siguiente manera. Si una función está definida en un segmento y es continua en él, entonces , y viceversa. Este límite también se denota por . $F$ $[a,\;b]$ $\lim _{{\delta \to 0+}}{\omega _{f}(\delta )}=0$ $\omega _{f}(0+)$
Si es continua en , entonces su módulo de continuidad también es una función continua en el intervalo . $f(x)$ $[a,\;b]$ $[0,\;ba]$

Conceptos relacionados

El módulo de continuidad resultó ser una herramienta sutil para estudiar varias propiedades de una función, tales como:

perteneciente a las clases Lipschitz y Hölder ;
suavidad ;
diferenciabilidad ;
posibilidades de aproximación efectiva de una función por polinomios ( desigualdad de Jackson-Stechkin )
y muchos otros.

Variaciones y generalizaciones

Módulos de continuidad de orden superior

Es fácil ver que la definición del módulo de continuidad usa la diferencia finita de primer orden de la función . $F$

\omega _{f}(\delta )=\sup\{|\Delta _{h}^{1}(f,\;x)|\colon (x\in E)\land |h| <\delta\}.

Si en lugar de la diferencia finita de primer orden tomamos la diferencia finita de orden , entonces obtenemos la definición del módulo de continuidad de orden . La designación habitual para dichos módulos es . $norte$ $norte$ $\omega _{n}(f,\;\delta )$

Propiedades

Si es un número entero, entonces $k$ $\omega _{n}(f,\;k\delta )\leqslant k^{n}\omega _{n}(f,\;\delta ).$

Módulos de continuidad no clásicos

Hay muchas generalizaciones diferentes del concepto de módulo de continuidad. Por ejemplo, uno puede reemplazar el operador de diferencias finitas con otro operador de diferencias con coeficientes arbitrarios. Es posible permitir que estos coeficientes no sean constantes y cambien según el punto donde se tome este operador de diferencia. También puede permitir que el paso con el que se toma el operador de diferencia también dependa del punto. Tales módulos de continuidad no clásicos encuentran su aplicación en varias áreas de las matemáticas modernas.

Enlaces

Módulo de continuidad y espacios de Hölder generalizados