Estabilidad (sistemas dinámicos)

La estabilidad es la propiedad que tiene una solución de una ecuación diferencial de atraer hacia sí otras soluciones, siempre que sus datos iniciales sean suficientemente cercanos . Según la naturaleza de la atracción, se distinguen diferentes tipos de estabilidad. La sostenibilidad es un tema de estudio en disciplinas como la teoría de la estabilidad y la teoría de sistemas dinámicos .

Definiciones

Sea una región del espacio fase , , donde . Considere un sistema de ecuaciones diferenciales de la siguiente forma: $\Omega$ $\mathbb{R} ^{n}$ $I=[\tau ;\infty )$ ${\ estilo de visualización \ tau \ en \ mathbb {R}}$

{\ estilo de visualización {\ punto {x}} = f (t, x),}

(una)

donde , la función es definida , continua y satisface la condición de Lipschitz localmente en el dominio . $x \in \mathbb{R}^n$ $F$ $X$ $I\veces\Omega$

Bajo estas condiciones, para cualquier , hay una única solución al sistema (1) que satisface las condiciones iniciales: [1] . Destacamos alguna solución definida en el intervalo , tal que la llamaremos solución no perturbada. $(t_{0},x_{0})\en I\times \Omega$ ${\ estilo de visualización x (t, t_ {0}, x_ {0})}$ ${\ estilo de visualización x (t_ {0}, t_ {0}, x_ {0}) = x_ {0}}$ $\varfi (t)$ $J^{+}=[t_{0};\infty)$ $J^{+}\subconjunto I$

Estabilidad según Lyapunov

La solución no perturbada del sistema (1) se llama Lyapunov estable si para cualquier y existe , dependiendo solo de y y no dependiendo de , tal que para cualquier , para la cual , la solución del sistema (1) con condiciones iniciales se extiende a todo el semieje y para cualquiera satisface la desigualdad [1] . $\varfi (t)$ $t_{0}>\tau$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $\varepsilon$ $t_0$ $t$ $x_{0}$ $\|x_{0}-\varphi (t_{0})\|<\delta$ $X$ ${\ estilo de visualización x (t_ {0}) = x_ {0}}$ ${\ estilo de visualización J^{+))$ ${\ estilo de visualización t \ en J ^ {+))$ $\|x(t)-\varphi(t)\|<\varepsilon$

Simbólicamente se escribe así:

\forall \varepsilon >0,\forall t_{0}\in I\ \exists \delta (t_{0},\varepsilon )>0:\ \forall x_{0}:\|x_{0} -\varphi (t_{0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\ |<\varepsilon.

Una solución no perturbada del sistema (1) se llama inestable si no es Lyapunov estable, es decir $\varfi (t)$

\existe \varepsilon >0,\existe t_{0}\in I:\forall \delta >0\ \existe x_{0}:\|x_{0}-\varphi (t_{0})\ |<\delta ,\existe t_{*}>t_{0}:\|x(t_{*},t_{0},x_{0})-\varphi (t_{*})\|=\varepsilon .

Estabilidad uniforme

Una solución no perturbada del sistema (1) se llama uniformemente estable en el sentido de Lyapunov si, de la definición anterior, depende solo de : $\varfi (t)$ $\delta$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0:\ \forall x_{0},\forall t_{0}\in I:\|x_{0}-\varphi (t_ {0})\|<\delta \Rightarrow \forall t\in J^{+}:\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|<\varepsilon .

Estabilidad asintótica

Una solución no perturbada del sistema (1) se llama asintóticamente estable si Lyapunov es estable y atractiva, es decir, la condición se cumple para cualquier solución con datos iniciales , para los cuales la desigualdad se cumple para algunos . $\varfi (t)$ $\lim _{t\to \infty }\|x(t,t_{0},x_{0})-\varphi (t)\|=0$ $x(t)$ $x_{0}$ ${\displaystyle ||x_{0}-\varphi (t_{0})||<\delta _{0))$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {0))$

Hay ciertas variedades de estabilidad asintótica [2] . La solución no perturbada del sistema (1) se llama: $\varfi (t)$

equiasintóticamente estable si es estable y equiatractivo ( no depende de ). $x(t)$ $x_{0}$
uniformemente asintóticamente estable si es uniformemente estable y atrae uniformemente ( no depende de y ). $x(t)$ $t_0$ $x_{0}$
globalmente asintóticamente estable si es estable y globalmente atractivo (no hay restricción sobre ). $x_{0}$
uniformemente asintóticamente estable como un todo si es uniformemente estable y uniforme y globalmente atractivo.

Nota

La solución trivial se puede considerar como una solución no perturbada del sistema , lo que simplifica las condiciones de estabilidad. Para ello, es necesario introducir un cambio de turno y considerar el sistema ${\ estilo de visualización x (t) \ equivalente 0}$ $y=x-\varphi$

{\ estilo de visualización {\ punto {y}} = g (t, y),}

dónde $g(t,y)=f(t,y+\varphi (t))-f(t,\varphi (t)).$

Notas

↑ 1 2 Afanasiev et al., 2003 , pág. 9.
↑ Rush et al., 1980 , pág. 19

Literatura

Bellman, R. Teoría de la estabilidad de soluciones a ecuaciones diferenciales. -M.:Editorial de literatura extranjera, 1954. (Ruso)
Chetaev, N. G. Estabilidad del movimiento. - 4ª ed., Rev. -M.:Nauka, 1990. - 176 p. —ISBN 5-02-014018-X. (Ruso)
Krasovsky, N. N. Algunos problemas de la teoría de la estabilidad del movimiento. —M.:Fizmatgiz, 1959. (Ruso)
Malkin IG Teoría de la estabilidad del movimiento. - 2ª ed., Rev. -M.:Nauka, 1966. (Ruso)
Demidovich, B. P. Conferencias sobre la teoría matemática de la estabilidad. —M.:Nauka, 1967. — 472 p. (Ruso)
Afanasiev VN , Kolmanovsky VB , Nosov VR Teoría matemática del diseño de sistemas de control. - 3ra ed., rev. y adicional .. - M . : Escuela Superior , 2003. - 614 p. — ISBN 5-06-004162-X . (Ruso)
Filippov, A. F. Introducción a la teoría de las ecuaciones diferenciales. - Ed. 2do. - Editorial URSS, 2007. - 240 p. —ISBN 978-5-484-00786-8.
Rush, N. , Abets, P. , Lalua, M. Direct Lyapunov Method in Stability Theory. — M .: Mir , 1980.