Fórmula de Binet (mecánica)

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La fórmula de Binet es una ecuación diferencial que te permite determinar la fuerza central si conoces la ecuación de la trayectoria de un punto material que se mueve bajo su acción, o determinar la trayectoria a partir de una fuerza central dada.

Redacción

Deje que un punto material con masa se mueva bajo la acción de una fuerza central . Entonces en el sistema de coordenadas polares , $metro$ $\vec{F}$ $r$ $\varphi$

{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}} =-{\frac{F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}.

Aquí está la llamada constante de área. $C$

Conclusión

Considere el movimiento de un punto material bajo la acción de una fuerza central . La ecuación de movimiento de un punto en proyecciones sobre los ejes polares , , donde . Aceleración radial , aceleración transversal . Obtenemos , . Transformemos la segunda ecuación: . Por lo tanto: , donde es una constante llamada constante de área. Sustituyendo el valor de en la ecuación , obtenemos . Hallamos sucesivamente , . Sustituyendo en , encontramos . $metro$ $\vec{F}$ $m{\vec {w}}={\vec {F}}$ ${\ Displaystyle mw_ {r} = F_ {r}}$ $mw_{\varphi}=F_{\varphi}$ $F_{\varfi}=0$ $w_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\varphi}}^{2}$ $w_{\varphi }={\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}$ $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi}}^{2})=F_{r}$ $m({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})=0$ $({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt ))(r^{2}{\punto {\varphi)))=0$ $r^{2}{\dot {\varphi}}=c$ $C$ ${\dot {\varphi))$ $r^{2}{\dot {\varphi}}=c$ $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi}}^{2})=F_{r}$ $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ ${\dot {r}}={\frac {dr}{d\varphi}}{\dot {\varphi}}={\frac {c}{r^{2}}}{\frac { dr}{d\varphi }}=-c{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {1}{r}}\right)$ ${\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{dt}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\varphi }}{\ punto {\varphi }}=-{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({ \frac{1}{r}}\right)$ ${\ddot {r))$ $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ ${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}} =-{\frac{F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}$

Véase también

Literatura

Moisés Iosifovich Murciélago. Mecánica Teórica en Ejemplos y Problemas: Dinámica . - Nauka, 1968. - S. 14. - 632 p.
Mijail Mijailovich Gernet. Curso de Mecánica Teórica . - Escuela Superior, 1973. - S. 325. - 461 p.
Zhukovsky NE Mecánica analítica . - Escuela Técnica Imperial de Moscú , 1910. - 262 p. — ISBN 9785446096053 .

Notas

↑ Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentos de la mecánica clásica. - M.: Escuela Superior, 1999. - S. 86-87. — ISBN 5-06-003587-5