Fórmula de Wallis

La fórmula de Wallis (también el producto de Wallis ) es una fórmula que expresa un número $\Pi$ en términos de un producto infinito de fracciones racionales:

{\begin{alineado}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2 }-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right )\\[6pt]&={\Grande (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Grande)}\cdot {\Grande (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Grande)}\cdot {\Grande (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{ 7}}{\Grande)}\cdot {\Grande (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Grande)}\cdot \;\cdots \\ \end{alineado}}

Historia

En 1655, John Wallis propuso una fórmula para determinar un número : $\Pi$

{\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {10}{9}}\cdot {\frac {10}{11}}\cdot \ldots

J. Wallis se acercó a ella, calculando el área de un círculo. Históricamente, la fórmula de Wallis fue significativa como uno de los primeros ejemplos de productos infinitos.

Prueba

Utiliza el producto de Euler infinito para la función seno: [1]

{\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2} \pi ^{2}}}\derecha).

Deja entonces ${\ estilo de visualización x = \ pi /2}$

{\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty}\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right) ,

{\begin{alineado}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n ^{2}-1}}\right)=\\&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1 )}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}} \cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots \end{alineado}}

Aplicación

Este producto converge extremadamente lento, por lo que la fórmula de Wallis es de poca utilidad para el cálculo práctico del número. Sin embargo, es útil en varios estudios teóricos, por ejemplo, para derivar la fórmula de Stirling . Sin embargo, si corregimos ligeramente el final en esta fórmula: $\Pi$

\pi \approx \left[\prod _{n=1}^{m-1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)))\ derecha]\cdot \left[{\frac {2m}{2m-1}}\cdot \left({\frac {2m}{2m+1}}\cdot {\frac {1}{4}}+1 \right)+{\frac {3}{4}}\right]={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3 }}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \left[{\frac {8}{ 7}}\cdot \left({\frac {8}{9}}\cdot {\frac {1}{4}}+1\right)+{\frac {3}{4}}\right],

entonces la tasa de convergencia aumentará en unos cinco órdenes de magnitud.

Notas

↑ Fórmula de Wallis . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 13 de marzo de 2012. Archivado desde el original el 10 de octubre de 2020. (indefinido)

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