Fórmula de Gauss-Ostrogradsky

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La fórmula de Gauss-Ostrogradsky conecta el flujo de un campo vectorial continuamente diferenciable a través de una superficie cerrada y la integral de la divergencia de este campo sobre el volumen limitado por esta superficie.

La fórmula se utiliza para convertir una integral de volumen en una integral sobre una superficie cerrada y viceversa.

Redacción

El flujo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral del volumen acotado por la superficie [1] ${\ estilo de visualización \ mathbf {a}}$ ${\ estilo de visualización S}$ $\operatorname {div} \mathbf {a}$ ${\ estilo de visualización V}$ ${\ estilo de visualización S}$

\iint \limits _{S}\mathbf {a} \cdot d\mathbf {s} =\iiint \limits _{V}\operatorname {div} \mathbf {a} \cdot d\mathbf {v }

En notación de coordenadas, la fórmula de Ostrogradsky-Gauss toma la forma:

\iint \limits _{S}a_{x}\,dy\,dz+a_{y}\,dz\,dx+a_{z}\,dx\,dy=\iiint \limits_{ V}\left({\frac {\parcial a_{x}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial a_{y}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial a_{z }}{\parcial z}}\derecha)\,dx\,dy\,dz

{\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z))

- proyecciones vectoriales

{\ estilo de visualización \ mathbf {a}}

Consecuencias del teorema de Ostrogradsky-Gauss: 1) en el campo solenoidal ( ) el flujo vectorial a través de cualquier superficie cerrada es igual a cero.

\operatorname {div} \mathbf {a} =0

{\ estilo de visualización \ mathbf {a}}

2) si hay una fuente o sumidero dentro de una superficie cerrada , entonces el flujo vectorial a través de esta superficie no depende de su forma.

{\ estilo de visualización S}

{\ estilo de visualización \ mathbf {a}}

Notas

En el trabajo de Ostrogradsky, la fórmula se escribe de la siguiente forma:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,

donde y son los diferenciales de volumen y superficie, respectivamente. son funciones que son continuas junto con sus derivadas parciales de primer orden en una región cerrada del espacio delimitada por una superficie lisa cerrada [2] . $omega$ $ds$ $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$

Notación moderna de la fórmula:

\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int ( P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,

donde , y . En notación moderna - un elemento de volumen, - un elemento de la superficie [2] . ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz))$ ${\displaystyle \cos \beta\,{dS}={dz}{dx))$ ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy))$ $\omega =d\Omega$ $s=dS$

Una generalización de la fórmula de Ostrogradsky es la fórmula de Stokes para variedades con límite.

Historia

El teorema fue establecido por primera vez por Lagrange en 1762 [3] .

El método general para convertir una integral triple en una integral de superficie fue mostrado por primera vez por Carl Friedrich Gauss ( 1813 , 1830 ) usando el ejemplo de problemas en electrodinámica [4] .

En 1826, M. V. Ostrogradsky derivó la fórmula en forma general, presentándola como un teorema (publicado en 1831 ). M. V. Ostrogradsky publicó una generalización multidimensional de la fórmula en 1834 [4] . Con la ayuda de esta fórmula, Ostrogradsky encontró una expresión para la derivada con respecto a un parámetro de la integral de pliegues con límites variables y obtuvo una fórmula para la variación de la integral de pliegues. $norte$ $norte$

En el extranjero, la fórmula generalmente se denomina "teorema de la divergencia" ( teorema de la divergencia en inglés ), a veces, la fórmula de Gauss o la "fórmula (teorema) de Gauss-Ostrogradsky".

Véase también

Notas

↑ "Diccionario matemático de la escuela superior" V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich. Editorial MPI. artículo "Teorema de Ostrogradsky" página 437.
↑ 1 2 Ilyin V. A. et al. Análisis matemático. Continuación del curso / V. A. Ilyin, V. A. Sadovnichy, Bl. X. Sendov. ed. A. N. Tikhonova. - M .: Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1987. - 358 p.
↑ En un trabajo sobre la teoría del sonido de 1762, Lagrange considera un caso especial del teorema: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Nuevos estudios sobre la naturaleza y propagación del sonido), Miscellanea Taurinensia ( Mélanges de Turin ), 2 : 11 - 172. Edición reimpresa: "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" Archivado el 15 de mayo de 2016 en Wayback Machine en JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (París , Francia: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, páginas 151-316; en las páginas 263-265 Archivado el 13 de mayo de 2016 en Wayback Machine . Lagrange convierte integrales triples en integrales dobles mediante integración por partes .
↑ 1 2 Alexandrova N. V. Términos matemáticos (Libro de referencia). Moscú: Escuela superior, 1978, pp. 150-151.

Literatura

Ostrogradsky M. V. Note sur les integrales definies. //Mem. l'Acad. (VI), 1, págs. 117-122, 29/X 1828 (1831).
Ostrogradsky M. V. Memoire sur le calcul des variaciones des integrales múltiplos. //Mem. l'Acad., 1, págs. 35-58, 24/1 1834 (1838).

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