Teorema de Stokes

El teorema de Stokes es uno de los principales teoremas de la geometría diferencial y del análisis matemático sobre la integración de formas diferenciales , que generaliza varios teoremas de análisis . Nombrado en honor a J. G. Stokes .

Redacción

Deje que una subvariedad de dimensión acotada orientada positivamente ( ) y una forma diferencial del grado de la clase se den en una variedad de dimensión orientable . Entonces, si el límite de la subvariedad está orientado positivamente, entonces $METRO$ $norte$ $pags$ $\sigma$ $1\leqslant p\leqslant n$ $\omega$ $p-1$ $c ^ 1$ $\sigma parcial$

\int \limits _{\sigma }d\omega =\int \limits _({\parcial \sigma }}\omega ,

donde denota el diferencial externo de la forma . $omega$ $\omega$

El teorema se extiende a combinaciones lineales de subvariedades de la misma dimensión, las llamadas cadenas . En este caso, la fórmula de Stokes realiza la dualidad entre la cohomología de Rham y la homología de ciclo múltiple . $METRO$

Casos especiales

Fórmula de Newton-Leibniz

Sea dada una curva ( cadena unidimensional ) orientada de punto a punto en una variedad de dimensión arbitraria. La forma de grado cero de una clase es una función diferenciable . Entonces la fórmula de Stokes se escribe como $yo$ $a$ $b$ $\omega$ $c ^ 1$ $F$

\int \limits _{l}df=\int \limits _{l}f'\,dx=\int \limits _{a}^{b}f'\,dx=f(b)-f(a ).

Teorema de Green

A veces llamado el teorema de Green-Riemann. Sea el plano , y sea parte de su dominio acotado orientado positivamente con un límite de Jordan suave por partes . Sea la forma de primer grado escrita en coordenadas y sea la expresión Entonces, para la integral de esta forma a lo largo de la frontera positivamente orientada (en sentido antihorario) del dominio , $METRO$ $D$ $X$ ${\ estilo de visualización y,}$ ${\ estilo de visualización L\,dx+M\,dy.}$ $D$

\\int \limits _{\parcial D}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint \limits _{D}\left({\frac {\parcial M}{ \parcial x}}-{\frac {\parcial L}{\parcial y}}\right)\,dx\,dy.

Derivación del teorema de Stokes

Definiendo la forma diferencial , encontramos su diferencial externo : $\omega =L\,dx+M\,dy$

d\omega =\left({\dfrac {\parcial L}{\parcial x))\,dx+{\dfrac {\parcial L}{\parcial y))\,dy\right)\wedge dx+\left( {\dfrac {\M parcial}{\x parcial}}\,dx+{\dfrac {\M parcial}{\y parcial}}\,dy\right)\wedge dy.

Teniendo en cuenta que y : $dx\cuña dx=0$ $dy\cuña dy=0$

d\omega ={\underset {-{\frac {\parcial L}{\parcial y))\,dx\,\cuña \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\parcial L}{\parcial y }}\,dy\cuña dx}}}+{\dfrac {\parcial M}{\parcial x}}\,dx\cuña dy=\left({\dfrac {\parcial M}{\parcial x}} -{\dfrac {\L parcial}{\y parcial}}\right)\,dx\cuña dy.

A partir de aquí, usando el teorema de Stokes:

\int \limits _{{\parcial D}}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\parcial M}{\parcial x}}-{\ frac {\parcial L}{\parcial y}}\right)\,dx\,dy.

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En su artículo principal se proporciona una prueba independiente de la fórmula de Green.

La fórmula de Kelvin-Stokes

A menudo se la conoce simplemente como la fórmula de Stokes. Sea una superficie lisa por partes ( ) en un espacio euclidiano tridimensional ( ), sea un campo vectorial diferenciable . Entonces la circulación del campo vectorial a lo largo del contorno cerrado es igual al flujo del rotor (vórtice) del campo a través de la superficie delimitada por el contorno: $\Sigma$ $pag=2$ $n=3$ $\mathbf {F}$ $\parcial \Sigma$ $\Sigma$

\int \limits_{\Sigma}\mathrm {rot} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma} =\int \limits_{\parcial \Sigma}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,

o en notación de coordenadas:

\iint \limits _{{\Sigma }}\left({\frac {\parcial R}{\parcial y}}-{\frac {\parcial Q}{\parcial z}}\right)\,dy\ ,dz+\left({\frac {\parcial P}{\parcial z}}-{\frac {\parcial R}{\parcial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac { \parcial Q}{\parcial x}}-{\frac {\parcial P}{\parcial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _({\parcial \Sigma }}P\ ,dx+Q\,dy+R\,dz.

A menudo, una integral de lazo cerrado se escribe en el lado derecho.

Derivación del teorema de Stokes

Considere la forma diferencial . Entonces, usando la propiedad diferencial de la forma diferencial : $\omega =P\,dx+Q\,dy+R\,dz$ $d(\omega_{F}^{1})=\omega_{({\mathrm {rot}}\,F}}^{2}$

d\omega =\left({\frac {\parcial R}{\parcial y))-{\frac {\parcial Q}{\parcial z))\right)\,dy\wedge dz+\left({\ frac {\parcial P}{\parcial z}}-{\frac {\parcial R}{\parcial x}}\right)\,dz\wedge dx+\left({\frac {\parcial Q}{\parcial x}}-{\frac {\parcial P}{\parcial y}}\right)\,dx\cuña dy.

A partir de aquí, usando el teorema de Stokes:

\iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\parcial R}{\parcial y))-{\frac {\parcial Q}{\parcial z))\right)\,dy\,dz+ \left({\frac {\parcial P}{\parcial z}}-{\frac {\parcial R}{\parcial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\parcial Q}{\parcial x}}-{\frac {\parcial P}{\parcial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _({\parcial \Sigma }}P\,dx +Q\,dy+R\,dz.

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Prueba usando la fórmula de Green

deja _ Después $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u(t),v(t))$

$\int_{\parcial \Sigma}(\mathbf {a},d\mathbf {r})=\int_{\alpha}^{\beta}((\mathbf {a} (\mathbf { r} (u(t),v(t)))),r_{u}(u(t),v(t))u'(t)+r_{v}(u(t),v(t ))v'(t))dt=\int _{\Omega }(a,r_{u})du+(a,r_{v})dv.$

De aquí, usando la fórmula de Green , obtenemos $\int_{\parcial \Sigma}(\mathbf {a},d\mathbf {r})=\iint_{\Omega}\left[{\frac {\parcial}}{\parcial u)) {(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{v})}-{\frac {\parcial }{\parcial v)){(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{u} )}\right]dudv={}$

${}=\iint _{\Omega }\left({\frac {\parcial \mathbf {a} }{\parcial x}}x_{u}+{\frac {\parcial \mathbf {a} }{\parcial y}}y_{u}+{\frac {\parcial \mathbf {a} }{\parcial z}}z_{u},\mathbf {r} _{v}\right)dudv-\ iint _{\Omega }\left({\frac {\parcial \mathbf {a} }{\parcial x}}x_{v}+{\frac {\parcial \mathbf {a} }{\parcial y}} y_{v}+{\frac {\parcial \mathbf {a} }{\parcial z}}z_{v},\mathbf {r} _{u}\right)dudv$ ${}=\iint_{\Omega }[(\mathbf {r}_{v},(\mathbf {r}_{u},\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r} _{u},(\mathbf {r} _{v},\nabla ),\mathbf {a} )]dudv,$ que, por definición de un vórtice , es la cantidad requerida:

$\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r_{u}} ,\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r_{u }} ,(\mathbf {r_{v}} ,\nabla ),\mathbf {a} )]dudv=\iint _{\Omega }({r_{u}},{r_{v}},\nombre del operador {rot} \;\mathbf {a} )dudv=\iint _{\Sigma }(\operatorname {rot} \;\mathbf {a} ,\mathbf {n} )dS.$ ■

La fórmula de Ostrogradsky-Gauss

Sea ahora una hipersuperficie lisa por partes ( ) que delimita alguna región en un espacio bidimensional. Entonces , la integral de divergencia de campo sobre la región es igual al flujo de campo a través del límite de la región : $\parcial V$ $p=n-1$ $V$ $norte$ $\parcial V$

\int \limits _{V}{\mathrm {div}}\,{\mathbf {F}}\,dV=\int \limits _{{\V parcial}}{\mathbf {F}}\cdot d {\mathbf {\Sigma}}.

En el espacio tridimensional con coordenadas, esto equivale a escribir: $(n=3)$ $\{x,y,z\}$

\ \int \limits _{\V parcial}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma} =\int \limits _{V}\left({\frac {\parcial P}{\ x parcial))+{\frac {\parcial Q}{\parcial y))+{\frac {\parcial R}{\parcial z))\right)\,dV

\iint \limits _{{\V parcial}}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\parcial P}{\parcial x))+{\frac {\parcial Q}{\parcial y))+{\frac {\parcial R}{\parcial z))\right)\,dx\,dy \,dz.

Derivación del teorema de Stokes

Considere la forma diferencial . Entonces, usando la propiedad diferencial de la forma diferencial : $\omega =P\,dy\cuña dz+Q\,dz\cuña dx+R\,dx\cuña dy$ $d(\omega_{F}^{2})=\omega_{({\mathrm {div}}\,F}}^{3}$

d\omega =\left({\frac {\parcial P}{\parcial x))+{\frac {\parcial Q}{\parcial y))+{\frac {\parcial R}{\parcial z} }\right)\,dx\cuña dy\cuña dz.

A partir de aquí, usando el teorema de Stokes:

\iint \limits _{{\V parcial}}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\parcial P}{\parcial x))+{\frac {\parcial Q}{\parcial y))+{\frac {\parcial R}{\parcial z))\right)\,dx\,dy \,dz.

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Literatura

Fikhtengolts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral - T. 3
Arnold V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics (djvu) (enlace inaccesible) (enlace inaccesible desde 18-05-2013 [3449 días] - historia )
Cartan A. Cálculo diferencial. formas diferenciales. — M.: Mir, 1971.

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La fórmula de Kelvin-Stokes

La fórmula de Ostrogradsky-Gauss

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Véase también