Fórmula de monotonicidad

La fórmula de la monotonicidad es el teorema clásico de la superficie mínima . Ella afirma en particular que el área de intersección de una superficie mínima sin límite con una pelota centrada en la superficie no puede ser menor que el área de un círculo del mismo radio.

Redacción

Supongamos que hay una superficie mínima bidimensional en el espacio euclidiano y . Indicar por la distancia mínima desde el límite . $METRO$ $k$ $p\en M$ $R$ $pags$ $METRO$

Entonces la función

{\displaystyle r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m))))

aumenta monótonamente en el intervalo ; aquí denota el área dimensional y es la bola de radio centrada en . ${\ estilo de visualización [0, R]}$ $\mathrm{S}$ $k$ ${\ Displaystyle B_ {r} (p)}$ $r$ $pags$

Consecuencias

Para , y cómo se satisface la desigualdad en la formulación $METRO$ $pags$ $R$ $\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},$

en ; aquí denota el volumen de la bola unitaria en el espacio euclidiano bidimensional.

r\leq R

\omega_{k}

k

Además, si es un punto de auto-intersección entonces $pags$

\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega_{k}\cdot r^{m},

en .

r\leq R

Aplicaciones

Ecolm y White usaron la fórmula de monotonicidad para demostrar que la superficie mínima que abarca un contorno con una variación de rotación de 4π o menos está anidada.
Brende y Hung aplicaron una fórmula de monotonicidad generalizada para estimar el área de intersección de una superficie mínima con una pelota cuyo centro está fuera de la superficie.

Literatura

S. Brandle, PK Hung. Límites de área para superficies mínimas que pasan por un punto prescrito en una bola // arXiv:1607.04631 [math.DG].

Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Incrustación de superficies mínimas con curvatura límite total como máximo 4π // Ann . Matemáticas.. - 2002. - P. 209–234 .