Superficie mínima

La superficie mínima es una superficie lisa con curvatura media cero . El nombre se explica por el hecho de que una superficie lisa con un contorno dado, minimizando el área, es mínima.

Ejemplos

Propiedades

Las líneas asintóticas sobre la superficie mínima forman una red isotérmica .
En general, una superficie mínima con un borde puede no tener el área mínima entre todas las superficies con un contorno dado. Pero cualquier punto de la superficie mínima está contenido en el disco minimizando el área dada por el contorno.
- Además, si una superficie mínima compacta es la gráfica de una función suave definida en un dominio convexo en el plano, entonces minimiza el área entre todas las superficies con un límite dado. [una] $z=f(x,y)$ $(x,y)$
Fórmula de monotonicidad

Historia

Las primeras investigaciones de las superficies mínimas se remontan a Lagrange ( 1768 ), quien consideró el siguiente problema variacional : encontrar la superficie del área más pequeña que abarca un contorno dado. Asumiendo la superficie deseada, dada en la forma , Lagrange determinó que esta función debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange . $z=f(x,y)$

Monge ( 1776 ) descubrió más tarde que la condición para que el área de la superficie sea mínima implica que su curvatura media es cero. Por lo tanto , se asignó el nombre de “mínimo” a las superficies con. En realidad, sin embargo, es necesario distinguir entre los conceptos de superficie mínima y superficie de área más pequeña, ya que la condición es sólo una condición necesaria para el área mínima, que se sigue de la igualdad a cero de la 1ª variación de el área superficial entre todas las superficies con un límite dado. ${\ estilo de visualización H = 0}$ ${\ estilo de visualización H = 0}$

Notas

↑ Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. geometrías calibradas. ActaMath. 148 (1982), 47–157.

Enlaces

Evgeny Stepanov Video conferencias: superficies mínimas (rus.)