Fórmula del área de Gauss

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La fórmula del área de Gauss ( fórmula del topógrafo o fórmula de lazada o algoritmo de lazada ) es una fórmula para determinar el área de un polígono simple cuyos vértices están dados por coordenadas cartesianas en el plano. En la fórmula , el producto cruzado de las coordenadas y la suma determina el área del área que encierra el polígono, y luego le resta el área del polígono circundante, lo que da el área del polígono interior. También se llama la fórmula del cordón, ya que los términos positivos y negativos, que consisten en coordenadas multiplicadas, están dispuestos en forma de cruz, como cuando se atan los cordones de los zapatos. Encuentra aplicación en geodesia , silvicultura y otros campos.

La fórmula fue descrita por Meister (1724-1788) en 1769 y por Gauss en 1795. Puede verificarse dividiendo un polígono en triángulos, pero también puede verse como un caso especial del teorema de Green .

La fórmula para determinar el área se determina tomando cada arista del polígono AB y calculando el área del triángulo ABO con vértice en el origen O a través de las coordenadas de los vértices. Al caminar alrededor del polígono, se forman triángulos, que incluyen el interior del polígono y se ubican fuera de él. La diferencia entre la suma de estas áreas es el área del propio polígono. Por lo tanto, la fórmula se llama fórmula del agrimensor, ya que el "cartógrafo" está en el origen; si recorre la parcela en sentido contrario a las agujas del reloj, se suma el área si está a la izquierda y se resta si está a la derecha desde el punto de vista desde el origen.

La fórmula del área es válida para cualquier polígono que se corte a sí mismo, que puede ser convexo o cóncavo.

Definición

La fórmula se puede representar mediante la siguiente expresión:

{\begin{alineado}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i +1}+x_{n}y_{1}-\sum_{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}\right|= \\&={\frac{1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\puntos +x_{n-1}y_{n}+x_{n }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\puntos -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|,\end {alineado}}

dónde

S es el área del polígono, n es el número de lados del polígono, ( x i , y i ), i = 1, 2, …, n son las coordenadas de los vértices del polígono.

Otra representación de la misma fórmula [1] [2] :

{\begin{alineado}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+ 1 }-y_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{ i +1}-x_{i-1})\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_ { i+1}-x_{i+1}y_{i}\right|=\\&={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}\ det {\begin{pmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|,\end{alineado}}

dónde

x norte +1 \ u003d x 1 , x 0 \ u003d x norte , y norte +1 = y 1 , y 0 = y norte .

Si los puntos se numeran secuencialmente en sentido antihorario, entonces los determinantes en la fórmula anterior son positivos y se puede omitir el módulo ; si están numerados en el sentido de las agujas del reloj, entonces los determinantes serán negativos. Esto se debe a que la fórmula puede verse como un caso especial del teorema de Green.

Ejemplos

Para aplicar la fórmula, necesitas conocer las coordenadas de los vértices del polígono en el plano cartesiano. Por ejemplo, tomemos un triángulo con coordenadas {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Tome la primera coordenada x del primer vértice y multiplíquela por la coordenada y del segundo vértice, y luego multiplique la coordenada x del segundo vértice por la coordenada y del tercero. Repetimos este procedimiento para todos los vértices. El resultado se puede determinar mediante la siguiente fórmula [3] :

\mathbf {S}_{\text{tri.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|,

donde x i y y i denotan la coordenada correspondiente. Esta fórmula se puede obtener abriendo los paréntesis en la fórmula general para el caso n = 3. Usando esta fórmula, puedes encontrar que el área del triángulo es la mitad de la suma de 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, lo que da 3.

El número de variables en la fórmula depende del número de lados del polígono. Por ejemplo, la fórmula para el área de un pentágono usará variables hasta x 5 e y 5 :

\mathbf {S}_{\text{pent.}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3} -x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|.

S para cuadrilátero - variables hasta x 4 y y 4 :

\mathbf {S}_{\text{cuadrado}}={\frac {1}{2}}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3 }y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4} |.

Un ejemplo más complejo

Considere el polígono que se muestra en la figura y está definido por los puntos (3, 4), (5, 11), (12, 8), (9, 5), (5, 6):

El área de este polígono es:

{\begin{alineado}\mathbf {S} &={\frac {1}{2}}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4-{}\\&\qquad -4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|=\\&={\frac {60}{2)) =30.\end{alineado}}

Nombre Explicación

La fórmula se llama fórmula del cordón de zapato debido al método general que se usa para calcularla. Este método utiliza una matriz . Como ejemplo, tomemos un triángulo con vértices (2, 4), (3, −8), (1, 2). Luego construimos la siguiente matriz, "recorriendo" el triángulo y terminando con el punto de partida:

{\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix)).

Primero, dibuje una diagonal hacia abajo y hacia la derecha con una barra inclinada, como se muestra a continuación:

y multiplica pares de números conectados por una barra, y luego suma todas las sumas:

(2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6.

Hagamos lo mismo haciendo un corte diagonal hacia abajo y hacia la izquierda, como se muestra a continuación:

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8.

Luego restamos la suma del segundo grupo del primero y tomamos el módulo:

|(−6) − (8)| = 14.

Dividiendo el resultado por dos da el área. Organizar los números en una matriz con líneas diagonales facilita recordar la fórmula. Como resultado de la operación realizada con el dibujo de líneas diagonales (oblicuas), la matriz con números se parece a los zapatos con cordones, de ahí proviene el nombre de "algoritmo de cordones".

Una buena descripción de "Gauss Lacing" se presenta en el video del canal Wild Mathing [1]

Véase también

Notas

↑ Teorema del cordón Archivado el 23 de septiembre de 2020 en Wayback Machine , Art of Problem Solving Wiki .
↑ Weisstein, Eric W. Área poligonal . Wolframio mundo matemático . Consultado el 24 de julio de 2012. Archivado desde el original el 12 de mayo de 2012. (indefinido)
↑ Richard Road; Jorge Milauskas; Roberto Whipple. Geometría para el disfrute y el desafío . - nuevo. — McDougal Littell, 1991. - S. 717 -718. — ISBN 0-86609-965-4 .