Punto singular fucsia

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En la teoría de ecuaciones diferenciales con tiempo complejo , un punto se denomina punto singular fucsiano de una ecuación diferencial lineal $t=t_{0}\en \mathbb {C}$

{\dot {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,

si la matriz del sistema A(t) tiene un polo de primer orden en ella. Esta es la singularidad más simple posible de una ecuación diferencial lineal con tiempo complejo.

También se dice que es un punto singular fucsiano si el punto resulta ser fucsiano después del cambio , es decir, si la matriz del sistema tiende a cero en el infinito. $t=\infty$ $s=0$ ${\ estilo de visualización t = 1/s}$ $A)$

El ejemplo más simple

Una ecuación diferencial unidimensional tiene un punto singular fucsiano en cero, y sus soluciones son funciones (generalmente de varios valores ) . Al ir alrededor de cero, la solución se multiplica por . ${\dot {z}}={\frac{a}{t}}z$ ${\displaystyle z(t)=C\cdot t^{a))$ ${\ estilo de visualización \ lambda = e ^ {2 \ pi ia}}$

Crecimiento de soluciones y mapeo de monodromía

Al acercarse a un punto singular fucsia en cualquier sector, la norma de la solución no crece más rápido que polinomialmente:

{\displaystyle \|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N))

para algunas constantes y . Así, todo punto singular fucsia es regular . $C$ $norte$

Poincaré-Dulac-Levelle forma normal

Problema 21 de Hilbert

El vigésimo primer problema de Hilbert era que, dados los puntos de la esfera de Riemann y una representación del grupo fundamental de su complemento, construir un sistema de ecuaciones diferenciales con singularidades fucsias en esos puntos, para lo cual la monodromía resulta ser una representación dada. Durante mucho tiempo se creyó que este problema fue resuelto positivamente por Plemel (quien publicó la solución en 1908 ), pero Yu. S. Ilyashenko descubrió un error en su solución en la década de 1970 . De hecho, la construcción de Plemelj hizo posible construir el sistema requerido cuando al menos una de las matrices monodrómicas es diagonalizable . [una]

En 1989, A. A. Bolibrukh publicó [2] un ejemplo de un conjunto de puntos singulares y matrices monodrómicas que no pueden ser realizadas por ningún sistema fucsiano, resolviendo así el problema negativamente.

Literatura

↑ Yu. S. Ilyashenko, "Problema no lineal de Riemann-Hilbert ", Ecuaciones diferenciales con tiempo real y complejo, Colección de artículos, Tr. MIAN, 213, Nauka, M., 1997, pág. 10-34.
↑ A. A. Bolibrukh, "El problema de Riemann-Hilbert en la línea proyectiva compleja" , Mat. notas, 46:3 (1989), 118-120

A. A. Bolibrukh, Problemas de monodromía inversa en la teoría analítica de ecuaciones diferenciales, M.: MTsNMO, 2009.
Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Conferencias sobre ecuaciones diferenciales analíticas, AMS, 2007.