Solución Fundamental

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La solución fundamental de un operador diferencial lineal L o, de manera equivalente, de la correspondiente ecuación diferencial parcial lineal es un concepto matemático que generaliza la idea de la función de Green para operadores diferenciales, sin conexión con ningún dominio y condiciones de contorno.

Es decir, la solución fundamental del operador diferencial L es la solución F (en general, perteneciente a la clase de funciones generalizadas ) de la ecuación lineal no homogénea

LF = δ ( x ),

donde el lado derecho δ ( x ) es la función delta de Dirac [1] .

Históricamente, la noción de una solución fundamental surgió por primera vez para el operador de Laplace en las dimensiones 2 y 3. En la actualidad, se han calculado soluciones fundamentales para muchos operadores diferenciales específicos y se ha demostrado que todo operador diferencial con coeficientes constantes tiene una solución fundamental. .

Propiedades

La solución fundamental del operador L es, en términos generales, no única. Se define hasta la adición de un término Z perteneciente al kernel del operador L : sea F una solución de la ecuación LF = δ ( x ), entonces F+Z es también su solución si LZ = 0 [1] .
La solución de la ecuación no homogénea LU = g ( x ) con un lado derecho arbitrario g se expresa en términos de la solución fundamental del operador L utilizando la fórmula de convolución U = F ∗ g . Esta solución es única en la clase de funciones generalizadas para las que existe una convolución con g [1] .
La función F es una solución fundamental de un operador diferencial lineal con coeficientes constantes

L(\parcial)=\sum_{|k|=0}^{m}a_{k}\parcial_{x_{1}}^{k_{1}}\cdots \parcial_{x_ {n}}^{k_{n}},\quad k=(k_{1},\ldots,k_{n}),

si y solo si su transformada de Fourier satisface donde

{\sombrero ancho {F}}

L(-i\xi )\,{\widehat {F))(\xi )=1,

L(\xi )=\sum _{|k|=0}^{m}a_{k}\xi _{1}^{k_{1}}\cdots \xi _{n}^{ k_{n}},\quad\xi =(\xi _{1},\ldots,\xi _{n}),

i es una unidad imaginaria [1] .

Ejemplos

La solución fundamental del operador de Laplace (el subíndice denota la dimensión del espacio) está dada por las fórmulas [1] , donde es el cuadrado escalar estándar del vector : $|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ $x \in \mathbb{R}^n$

F_{2}(x)={\frac {1}{2\pi }}\ln |x|,\quad F_{3}(x)=-{\frac {1}{4\pi |x|}},\quad F_{n}(x)=-{\frac {1}{(n-2)s_{n}|x|^{n-2}}},\ \ n\geq 3,

donde es el área superficial de la esfera unitaria en el espacio euclidiano n -dimensional.

s_{n}

La solución fundamental de la ecuación del calor tiene la forma:

\Phi (x,t)={\frac {\theta (t)}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}\!- {\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}\,{\biggr )},\ \ \ x\in \mathbb {R} ^{n},

donde es la función de Heaviside .

\ theta (t)

La solución fundamental de la ecuación biarmónica , es decir, el operador, es de la forma $L=\Delta^{2},$

F_{2}(x)=-{\frac {|x|^{2}}{8\pi }}(\ln |x|-1),\quad F_{3}(x)= {\frac{|x|}{8\pi}}~.

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ecuaciones de la física matemática. - M:, Fizmatlit, 2004.

Literatura

Vladimirov VS Ecuaciones de física matemática. -M:, Nauka, 1985.
Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ecuaciones de la física matemática. - M:, Fizmatlit , 2004.