Función de verde

La función de Green es una función que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con condiciones de contorno ( problema de valor de contorno no homogéneo ). Nombrado en honor al matemático inglés George Green , quien desarrolló la teoría por primera vez en la década de 1830.

Las funciones de Green son útiles en electrostática: para resolver la ecuación de Poisson ; en la teoría de la materia condensada , permiten resolver la ecuación de difusión (y la ecuación del calor que coincide con ella); En mecánica cuántica , la función de Green del hamiltoniano es una de las funciones clave y está relacionada con la densidad de estados. Las funciones de Green utilizadas en estas áreas son muy similares, ya que las ecuaciones de difusión y la ecuación de Schrödinger son similares en algún sentido. Todas las áreas de la física matemática y teórica., donde las funciones de Green son extremadamente útiles, quizás, es incluso difícil de enumerar. Ayudan a encontrar soluciones estacionarias y no estacionarias, incluso bajo diversas condiciones de contorno.

En física de partículas y física estadística , las funciones de Green se utilizan como propagadores en los diagramas de Feynman (y la expresión "función de Green" se aplica a menudo en general a la función de correlación en la teoría cuántica de campos ). La función de Green es ampliamente utilizada en aplicaciones de la teoría de la dispersión a la física del estado sólido ( difracción de rayos X , cálculos de los espectros electrónicos de materiales metálicos).

Definición y uso

La función de Green de un operador diferencial lineal que actúa sobre funciones generalizadas en un subconjunto del espacio euclidiano en un punto es cualquier solución de la ecuación ${\ estilo de visualización G (x, s)}$ ${\ estilo de visualización L = L (x)}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $s$

L~G(x,s)=\delta(xs)

donde es la función delta de Dirac . Esta propiedad de la función de Green se puede usar para resolver una ecuación diferencial de la forma $\ \delta$

L~u(x)=f(x)

La función de Green es un operador inverso de , por lo que a menudo se denota simbólicamente como . $L$ $L^{{-1}}$

Si el kernel del operador no es trivial, entonces la función de Green no es única. Sin embargo, en la práctica, el uso del principio de simetría, las condiciones de contorno u otras condiciones adicionales permiten determinar una función de Green específica. En términos generales, la función de Green no es una función ordinaria, sino generalizada , es decir, puede caer fuera de la clase de funciones ordinarias, por ejemplo, tener características de la forma de una función delta o sus derivadas. $L$

La función de Green también es una herramienta útil para resolver la ecuación de onda, la ecuación de difusión y las ecuaciones mecánicas cuánticas, donde la función de Green del operador de Hamilton juega un papel crucial y está relacionada con la densidad de estados . En física, la función de Green se suele definir con el signo opuesto:

L~G(x,s)=-\delta (xs)

que no cambia significativamente sus propiedades.

Si el operador es invariante traslacionalmente , es decir, si tiene coeficientes constantes con respecto a , entonces la función de Green puede elegirse como un operador convolucional $L$ $X$

G(x,s)=G(xs)

En este caso, coincide con la función de transición impulso de la teoría de los sistemas estacionarios lineales .

Nota

A veces, cuando una ecuación no homogénea contiene un coeficiente constante en el lado derecho, es decir, tiene la forma $Lf=\kappah$ ${\ estilo de visualización g (x, s)}$

Lf_{1}(x)=\kappa\,\delta (xs)

En este caso, la solución de la ecuación no homogénea original con una función arbitraria en el lado derecho se escribe como $Lf=\kappah$ $h$

f(x)=\int {\kappa\,h(s)\,g(x,s)\,ds}

↑ Está claro que la diferencia en la definición de la función de Green descrita en esta sección de la dada en el artículo anterior no se refiere a la esencia del asunto, sino solo a la forma preferida de notación.

Función de Green del operador de Sturm-Liouville (caso unidimensional)

Planteamiento del problema

Sea el operador Sturm - Liouville , un operador diferencial lineal de la forma: $L$

L={d \sobre dx}\left[p(x){d \sobre dx}\right]-q(x)

y sea el operador de la condición de frontera: $D$

Du={\begin{pmatrix}\alpha _{1}u^{\prime }(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u^{\prime }(l)+\beta _{2}u(l).\end{pmatriz}}

Teorema de Green

Sea una función continua en el intervalo . Supongamos también que la tarea $f(x)$ $[0,\;l]$

{\begin{matriz}Lu=f,\\Du=0\end{matriz}}

es regular, es decir, solo hay una solución trivial para el problema homogéneo.

Entonces hay una solución única que satisface el sistema $tu(x)$

{\begin{matriz}Lu=f,\\Du=0,\end{matriz}}

que viene dada por la expresión

u(x)=\int \limits _{0}^{l}f(s)g(x,\;s)\,ds

donde es la función de Green que cumple los siguientes requisitos (también son propiedades de la función de Green): $g(x,\;s)$

$g(x,\;s)$ continuo en y . $X$ $s$
para , . $x\neq s$ $Lg(x,\;s)=0$
para , . $s\neq 0,\;l$ $Dg(x,\;s)=0$
Salto derivado: . $g^{\principal}(s_{{+0)),\;s)-g^{\principal}(s_{{-0)),\;s)=1/p(s)$
Simétrico: . $g(x,\;s)=g(s,\;x)$

Encontrando la función de Green

Como una serie a través de funciones propias del operador

Si el conjunto de vectores propios ( funciones propias ) de un operador diferencial ${\ estilo de visualización \ Psi _ {n}}$ $L\$

(es decir, un conjunto de funciones tales que para cada una hay un número que ) ${\ estilo de visualización \ Psi _ {n} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {n} \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización L \ Psi _ {n} = \ lambda _ {n} \ Psi _ {n}}$

está completo, entonces uno puede construir la función de Green usando los vectores propios y los valores propios . ${\ estilo de visualización \ Psi _ {n}}$ $\lambda_n$

La completitud del sistema de funciones significa el cumplimiento de la relación ${\ estilo de visualización \ Psi _ {n} (x)}$

\delta (xx^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty}\Psi _{n}(x){\overline {\Psi }}_{n}(x ^{\principal})

Se puede demostrar que

{\displaystyle G(x,\;x^{\prime })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x){\overline {\Psi } }_{n}(x^{\principal})}{\lambda _{n))))

En efecto, actuando sobre esta suma como operador, obtenemos una función delta (debido a la relación de completitud). $L$

(La línea superior, denota conjugación compleja ; si son funciones reales , se puede omitir). ${\overline {\Psi ))$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {n}}$

Para ecuaciones parabólicas

La ecuación del calor , la ecuación de Schrödinger y las ecuaciones de difusión se pueden representar como una ecuación diferencial parcial :

$H\psi (x,\beta)=-{\frac {\parcial \psi (x,\beta)}{\parcial \beta))$

(una)

donde está el operador hermitiano , son las coordenadas espaciales $H$ $x={\mathcal {f}}x_{{1}},x_{{2}},...,x_{{n}}{\mathcal {g}}$

para la ecuacion del calor $\Delta T={\frac {c}{k}}{\frac {\T parcial}{\t parcial}}$

$T$ — temperatura, . $\beta ={\frac{k}{c}}t$

para la ecuación de Schrödinger $H\psi =-{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\parcial \psi }{\parcial t}}$

$\psi$ es la función de onda , . $\beta ={\frac {\hbar i}{2m}}t$

para la ecuación de difusión $\nabla ^{{2}}\psi ={\frac {1}{\lambda }}{\frac {\parcial \psi }{\parcial t}}$

$\psi$ es la concentración de la sustancia, . $\beta =\lambda t$

Las funciones propias del operador forman un sistema ortonormal completo y satisfacen la ecuación $\varphi _{{m}}$ $H$

H\varphi_{{m}}=\lambda_{{m}}\varphi_{{m}}

Supongamos que la solución de la ecuación (1) se puede representar como:

$\psi (x,\beta)=\sum_{{m=0}}^{{\infty}}A_{{m}}(\beta)\varphi_{{m}}(x)$

(2)

Sustituyendo en la ecuación (1) la forma propuesta de la solución, obtenemos:

H\psi =\sum_{{m=0}}^{{\infty}}A_{{m}}(\beta)H\varphi_{{m}}(x)=-\sum_{{ m=0}}^{{\infty }}\varphi _{{m}}(x){\frac {\parcial }{\parcial \beta }}A_{{m}}(\beta )

De este modo:

\sum _{{m=0}}^{{\infty }}[\lambda_{{m}}A_{{m}}(\beta )+{\frac {\parcial }{\parcial \beta } }A_{{m}}(\beta)]\varphi _{{m}}(x)=0

Esta ecuación debe cumplirse para todo m. Obtenemos la ecuación:

-\lambda _{{m}}A_{{m}}(\beta )={\frac {\parcial A_{{m}}(\beta )}{\parcial \beta }}

dónde

A_{{m}}(\beta )=A_{{m}}(0)e^{{-\lambda_{{m}}\beta }}

Por lo tanto, la solución de la ecuación original (1) se puede representar como:

\psi (x,\beta)=\sum_{{m=0}}^{{\infty}}A_{{m}}(0)e^{{-\lambda_{{m}}\beta }}\varphi _{{m}}(x)

Considerando la serie (2) uniformemente convergente, podemos encontrar que:

A_{{m}}(\beta)=\int \varphi_{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,\beta)d\tau

donde está el elemento de volumen. $d\tau =dx_{{1}}dx_{{2}}...dx_{{n}}$

De esta fórmula se sigue:

A_{{m}}(0)=\int \varphi_{{m}}^{{*}}(x)\psi (x,0)d\tau

Entonces, si se da el estado inicial, entonces

\psi (x,\beta)=\sum_{{m=0}}^({\infty}}\int \psi (x',0)\varphi_{{m}}^{{*}} (x')\varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda_{{m}}\beta }}d\tau '

Esta ecuación se puede escribir en una forma más conveniente:

\psi (x,\beta)=\int \langle x|G(\beta)|x'\rangle \psi (x',0)d\tau'

dónde:

\langle x|G(\beta )|x'\rangle =\sum_{{m=0}}^({\infty}}\varphi_{{m}}^{{*}}(x') \varphi _{{m}}(x)e^{{-\lambda_{{m}}\beta }}

Esta expresión se llama la función de Green para la ecuación (1).

Función de Green para el laplaciano

La función de Green para el Laplaciano se puede derivar del teorema de Green .

Para obtener el teorema de Green, comencemos con la ley de Gauss :

\int \limits _{V}\nabla \cdot {\hat A}\ dV=\int \limits _{S}{\hat A}\cdot d{\hat \sigma }

Aceptamos y sustituimos en la ley de Gauss. Calculemos y apliquemos la regla de la cadena para el operador : $A=\varphi\nabla\psi -\psi\nabla\varphi$ $\nabla \cdot {\sombrero A}$ $\nabla$

\nabla \cdot {\hat A}=\nabla \cdot (\varphi \nabla \psi -\psi \nabla \varphi )=

=(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )+\varphi \nabla ^{2}\psi -(\nabla \varphi )\cdot (\nabla \psi )-\psi \nabla ^{2} \varphi =\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi

Sustituyendo el resultado en el teorema de Gauss, obtenemos el teorema de Green:

\int \limits _{V}(\varphi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\varphi )\ dV=\int \limits _{S}(\varphi \nabla \psi - \psi \nabla \varphi )\cdot d{\hat \sigma }

Suponiendo que nuestro operador diferencial lineal es laplaciano , y que tenemos la función de Green para él . La definición de la función de Green en este caso se puede escribir como: $L$ $\ nabla ^ {2}$ $GRAMO$

LG(x,\;x^{\prime })=\nabla ^{2}G(x,\;x^{\prime })=\delta (xx^{\prime })

Introducimos el teorema de Green. Entonces obtenemos: $\psi=G$

\int \limits _{V}(\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })-G(x,\;x^{\prime })\nabla ^{2}\ varphi (x^{\principal}))\ d^{3}x^{\principal}=

=\int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{ \prime })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Usando la expresión, podemos resolver la ecuación de Laplace ( ) y la ecuación de Poisson ( ) con condiciones de frontera de Neumann o Dirichlet. En otras palabras, podemos encontrar una solución en todas partes dentro de un dominio dado si (1) se da un valor en la frontera de este dominio ( condiciones de frontera de Dirichlet ), o (2) se da la derivada normal en la frontera de este dominio ( condiciones de contorno de Neumann). $\nabla ^{2}\varfi (x)=0$ $\nabla ^{2}\varphi (x)=-4\pi \rho (x)$ $\varfi(x)$ $\varfi(x)$ $\varfi(x)$

Interesémonos en la solución dentro del dominio. En este caso, la integral se simplifica a debido a la propiedad principal de la función delta , y tenemos: $\varfi(x)$ $\int \limits _{V}\varphi (x^{\prime })\delta (xx^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }$ $\varfi(x)$

\varphi (x)=\int \limits _{V}G(x,\;x^{\prime })\rho (x^{\prime })\ d^{3}x^{\prime }+ \int \limits _{S}(\varphi (x^{\prime })\nabla ^{\prime }G(x,\;x^{\prime })-G(x,\;x^{\ primo })\nabla ^{\prime }\varphi (x^{\prime }))\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }

Esta fórmula expresa la conocida propiedad de las funciones armónicas , que consiste en que si se conoce el valor de la derivada normal en la frontera de la región, entonces todos los valores de la función en cualquier punto interior de esta región son también conocido.

En electrostática , se entiende como potencial electrostático , como la densidad de carga eléctrica , y la derivada normal como la componente normal del campo eléctrico. $\varfi(x)$ $\rho (x)$ $\nabla \varphi (x^{\prime })\cdot d{\hat \sigma }^{\prime }$

Al resolver el problema del valor límite de Dirichlet , la función de Green se elige en la forma . Esta función desaparece cuando o está en la interfaz; y viceversa, al resolver el problema de valores en la frontera de Neumann, se debe elegir la función de Green para que su derivada normal desaparezca en la superficie. Por lo tanto, solo uno de los dos términos permanece en la integral sobre la superficie. $G(x,\;x^{\principal})$ $X$ $x^\principal$

En ausencia de condiciones de contorno, la función de Green para el Laplaciano tiene la forma:

G({\hat x},\;{\hat x}^{\prime })={\frac {1}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\right |}}

Considerando que la superficie límite es infinitamente grande y sustituyendo la función de Green en esta expresión, llegaremos a una expresión similar para el potencial eléctrico en términos de la densidad de carga eléctrica .

\varphi (x)=\int \limits _{V}{\frac {\rho (x^{\prime })}{\left|{\hat x}-{\hat x}^{\prime }\ derecha|}}\ d^{3}x^{\principal}

Ejemplo

(Este ejemplo sirve como ilustración del párrafo Función de Green del operador de Sturm-Liouville (caso unidimensional) , y las consideraciones descritas aquí ilustran los puntos del teorema del párrafo correspondiente, cuyas referencias están presentes en el texto a continuación).

dada una tarea

{\begin{matriz}Lu\end{matriz}}=u^{{\prime \prime }}+u=f(x)

;

u(0)=0,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0

Encuentre la función de Green.

Primer paso: La función de Green en este caso, por definición, debe ser una solución a la ecuación ${\ estilo de visualización g (x, s)}$

$g^{{\prime \prime }}+g=\delta (xs)$

(3)

donde dos trazos denotan la segunda derivada con respecto a . $X$

Para , donde la función - es igual a cero, esta ecuación se reduce a una homogénea (punto 2 del teorema mencionado): $x\neq s$ $\delta$

g^{{\principal \principal}}+g=0

es decir, para todos los puntos excepto , la función de Green será la solución de tal ecuación homogénea. $s$

La solución general de tal ecuación

g=A\cos x+B\sin x

donde y son constantes (no dependen de ). $A$ $B$ $X$

Por lo tanto, debe tener exactamente esta forma en todas partes, excepto en el punto , además, a la izquierda ya la derecha de él, los coeficientes y pueden (y tendrán) valores diferentes. ${\ estilo de visualización g (x, s)}$ $s$ $A$ $B$

Imponemos condiciones de contorno a la función de Green que coinciden con las condiciones de contorno del problema original (punto 3 del teorema mencionado en el comentario introductorio). La función de Green con condiciones de contorno impuestas de esta manera es conveniente porque las soluciones construidas sumando o integrando dichas funciones de Green satisfarán automáticamente estas condiciones de contorno.

De la condición de contorno izquierda: - impuesta a la función de Green, vemos que para la solución general el coeficiente debe ser cero, es decir, para ${\ estilo de visualización u (0) = 0}$ $x$ $A$ $x$

g(x,\;s)=B\cdot\sin x

Del mismo modo, de la condición de frontera derecha: - obtenemos el coeficiente igual a cero , es decir, para $u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0$ $B$ $x>s$

g(x,\;s)=A\cdot \cos x

En consecuencia, teniendo en cuenta que los coeficientes y en general pueden depender de , podemos escribir: $A$ $B$ $s$

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matriz}B(s)\sen x,\;\;x<s\\A(s)\cos x,\;\;s< x\end{matriz}}\right.

Segundo paso:

Necesitamos definir y . ${\ estilo de visualización A (s)}$ ${\ estilo de visualización B (s)}$

Integrando dos veces los lados izquierdo y derecho de la ecuación (3) con la función delta en el lado derecho, vemos que la función de Green debe ser continua (punto 1 del teorema mencionado), y por lo tanto la condición para hacer coincidir la solución y : $x$ $x>s$

B(s)\sin s=A(s)\cos s

Habiendo integrado las partes izquierda y derecha de la misma ecuación de a obtenemos la condición para el salto de la primera derivada (punto 4 del teorema), y usándola, obtenemos: $x=s-\varepsilon$ $x=s+\varepsilon$

$g'(s_{{+0}},s)-g'(s_{{-0}},s)=-A(s)\cdot \sin sB(s)\cdot \cos s=1$ .

Usando la regla de Cramer, o simplemente adivinando la solución del sistema de estas dos ecuaciones, obtenemos que

$A(s)=-\sin s;\quad B(s)=-\cos s$ .

Estas expresiones satisfacen la condición del ítem 5 del teorema.

Entonces la función de Green del problema:

g(x,\;s)=\left\{{\begin{matriz}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matriz}}\right.

que se puede escribir como

g(x,\;s)={\frac 12}\left(\sin \left|xs\right|-\sin(x+s)\right).

Tabla con las funciones de Green

Esta tabla enumera las funciones de Green para operadores diferenciales comunes, donde , , es la función de Heaviside , es la función de Bessel , es la función de Bessel modificada de primer tipo y es la función de Bessel modificada de segundo tipo . [2] Donde aparece el tiempo ( t ) en la primera columna y se muestran las funciones de Green causales . ${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ Theta (t)}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto J_ {\ nu} (z)}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto I_ {\ nu} (z)}$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto K_ {\ nu} (z)}$ ${\ estilo de visualización G^{A}}$

Operador diferencial L	función de Green G	Ejemplo de aplicación
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} ^ {n + 1}}$	${\frac {t^{n}}{n!}}\Theta (t)$
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t} + \ gamma}$	${\displaystyle \Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
$\left(\parcial _{t}+\gamma \right)^{2}$	${\displaystyle \Theta (t)t\mathrm {e} ^{-\gamma t))$
${\displaystyle \parcial _{t}^{2}+2\gamma \parcial _{t}+\omega _{0}^{2))$	$\Theta (t)\mathrm {e} ^{-\gamma t}~{\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}$ , ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$	Oscilador armónico
$\Delta_{\text{2D}}=\parcial_{x}^{2}+\parcial_{y}^{2}$	${\ estilo de visualización {\ frac {1} {2 \ pi}} \ ln \ rho}$ , ${\ estilo de visualización \ rho = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$	Ecuación de Poisson
$\Delta_{\text{3D}}=\parcial_{x}^{2}+\parcial_{y}^{2}+\parcial_{z}^{2}$	${\frac {-1}{4\pi r))$ , ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2))))$	Ecuación de Poisson
${\ estilo de visualización \ Delta _ {\ texto {3D}} + k ^ {2}}$	${\frac {-\mathrm {e} ^{-ikr}}{4\pi r}}=i{\sqrt {\frac {k}{32\pi r}}}$ $H_{1/2}^{(2)}(kr)$ $=i{\frac {k}{4\pi }}\,$	ecuación estacionaria de Schrödinger 3D para una partícula libre
${\ estilo de visualización \ Delta -k^{2))$ en el espacio con dimensiones $norte$	$-(2\pi )^{-n/2}\left({\frac {k}{r}}\right)^{n/2-1}K_{n/2-1}(kr )$	Potencial Yukawa , Propagador
$\parcial _{t}^{2}-c^{2}\parcial _{x}^{2}$	${\frac{1}{2c}}\Theta (t-\|x/c\|)$	Ecuación de onda 1D
$\parcial _{t}^{2}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {1}{2\pi c{\sqrt {c^{2}t^{2}-\rho ^{2))))}\Theta (t-\rho /c)$	ecuación de onda 2D
$\square ={\frac {1}{c^{2}}}\parcial _{t}^{2}-\Delta _{\text{3D}}$	${\frac {\delta (t-{\frac {r}{c)))}{4\pi r))$	ecuación de onda 3D
${\ estilo de visualización \ parcial _ {t}-k \ parcial _ {x}^ {2}}$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{1/2}\mathrm {e} ^{-x^{2}/4kt}$	Ecuación de difusión 1D
$\parcial _{t}-k\Delta _{\text{2D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)\mathrm {e} ^{-\rho ^{2}/4kt}$	Ecuación de difusión 2D
$\parcial _{t}-k\Delta _{\text{3D))$	$\Theta (t)\left({\frac {1}{4\pi kt}}\right)^{3/2}\mathrm {e} ^{-r^{2}/4kt}$	Ecuación de difusión 3D
${\frac {1}{c^{2}}}\parcial _{t}^{2}-\parcial _{x}^{2}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{2}}\left[\left(1-\sin {\mu ct}\right)(\delta (ct-x)+\delta (ct+x))+\ mu \Theta (ct-\|x\|)J_{0}\left(\mu u\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	Ecuación de Klein-Gordon 1D
${\frac {1}{c^{2}}}\parcial _{t}^{2}-\Delta _{\text{2D}}+\mu ^{2}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[(1+\cos {(\mu ct)}){\frac {\delta (ct-\rho )}{\rho }}+ \mu ^{2}\Theta (ct-\rho )\operatorname {sinc} {(\mu u)}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-\ ro ^{2}}}$	Ecuación de Klein-Gordon 2D
${\ estilo de visualización \ cuadrado + \ mu ^ {2}}$	${\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}{r}}+\mu c\Theta (ct-r){\frac {J_{1}\left(\mu u\right)}{u}}\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{ 2}-r^{2}}}$	Ecuación de Klein-Gordon 3D
${\displaystyle \parcial _{t}^{2}+2\gamma \parcial _{t}-c^{2}\parcial _{x}^{2))$	${\frac {1}{2}}e^{-\gamma t}\left[\delta (ct-x)+\delta (ct+x)+\Theta (ct-\|x\|)\ izquierda ({\frac {\gamma {c}}I_{0}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {\gamma t}{u}}I_{ 1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2 }}}$	ecuación de telégrafo
$\parcial _{t}^{2}+2\gamma \parcial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{2D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{4\pi }}\left[(1+e^{-\gamma t}+3\gamma t){\frac {\delta (ct) -\rho )}{\rho }}+\Theta (ct-\rho )\left({\frac {\gamma \sinh \left({\frac {\gamma u}{c}}\right)}{ cu))+{\frac {3\gamma t\cosh \left({\frac {\gamma u}{c))\right)}{u^{2))}-{\frac {3ct\sinh \ izquierda({\frac {\gamma u}{c}}\derecha)}{u^{3}}}\derecha)\derecha],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2 }-\rho^{2}}}$	Ecuación de calor relativista 2D
$\parcial _{t}^{2}+2\gamma \parcial _{t}-c^{2}\Delta _{\text{3D))$	${\frac {e^{-\gamma t}}{20\pi }}\left[\left(8-3e^{-\gamma t}+2\gamma t+4\gamma ^{2 }t^{2}\right){\frac {\delta (ct-r)}{r^{2))}+{\frac {\gamma ^{2)){c))\Theta (ct- r)\left({\frac {1}{cu}}I_{1}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)+{\frac {4t}{u^{2} }}I_{2}\left({\frac {\gamma u}{c}}\right)\right)\right],\,u={\sqrt {c^{2}t^{2}- r^{2}}}$	Ecuación de calor relativista 3D

Otros ejemplos

Sea dado un conjunto y el operador igual a . Entonces la función de Heaviside es la función de Green para at . $\matemáticas {R}$ $\L$ $\d/dx$ $\ H(x-x_{0})$ $\L$ $\ x_0$
Sea la variedad dada por el primer cuarto del plano y sea el operador de Laplace. También suponemos que en , se imponen las condiciones de contorno de Dirichlet, y en , se imponen las condiciones de contorno de Neumann. Entonces la función de Green toma la forma ${(x,\;y):\;x,\;y\geqslant 0}$ $\L$ $\x=0$ $\y=0$

G(x,\;y,\;x_{0},\;y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0 })^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^ {2}}}\derecho]+

+{\frac{1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}- \ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2))}\derecha].

Véase también

Notas

↑ Li Tsung-dao Métodos matemáticos en física. - M.: Mir, 1965. - pág. 200
↑ Algunos ejemplos están tomados de Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (alemán)

Literatura

Eyges, Leonard, El campo electromagnético clásico , Publicaciones de Dover, Nueva York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 . (El capítulo 5 contiene una exposición muy clara del uso de las funciones de Green para resolver problemas de valores límite en electrostática).
AD Polyanin y VF Zaitsev, Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2ª edición) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

física matemática

Tipos de ecuaciones

Condiciones de borde

Ecuaciones de la física matemática

Difusión y Convección	Ecuación de calor Ecuación de difusión Ecuación de Mason-Weaver
hidrodinámica	Ecuación de transferencia Ecuaciones de Navier-Stokes ecuación de Euler Ecuación de Gromeka-Lamb Ecuación de vórtice Ecuación de hamburguesas Ecuaciones de aguas poco profundas Ecuación de Korteweg-de Vries
Electromagnetismo	ecuaciones de Maxwell Ecuación de Helmholtz Ecuación de Landau-Lifshitz Ecuación de Poisson apantallada
Mecánica cuántica	Ecuación de Schrödinger Ecuación de Heisenberg Ecuación de Rarita-Schwinger ecuación de Hartree Ecuación de Dirac Ecuación de Klein-Gordon
Modelos Generales	Ecuación de continuidad ecuación de onda Ecuación de Fokker-Planck Ecuación de Poisson

Métodos de solución

Métodos para resolver ecuaciones diferenciales

Métodos de cuadrícula

Métodos de elementos finitos	Método de elementos finitos método Galerkin Método de Galerkin discontinuo Método de elementos finitos multiescala método multired
Otros metodos	Método de diferencias finitas Método de volumen finito método de Godunov Método de elementos de contorno

Métodos sin cuadrícula

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