Funtor de imagen inversa

El funtor pullback es una construcción covariante de poleas . El funtor de imagen directa es una operación primaria en poleas, con una definición simple. La imagen inversa tiene propiedades más sutiles.

Definición

Nos dan una gavilla y queremos pasar a usar un mapa continuo . ${\ matemáticas {G}}$ $Y$ ${\ matemáticas {G}}$ $X$ $f\dos puntos X\a Y$

Nos referiremos al resultado como . Si tratamos de imitar la definición de una imagen directa y establecemos $f^{-1}{\mathcal {G}}$

f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),

por cada conjunto abierto en , inmediatamente nos encontramos con un problema: no necesariamente abierto. Lo mejor que podemos hacer es aproximarlo por conjuntos abiertos, e incluso así obtenemos una pregavilla, no una gavilla. Así, definimos como la gavilla asociada a la pregavilla $tu$ $X$ $f(u)$ $f^{-1}{\mathcal {G}}$

U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).

(Aquí , es un subconjunto abierto y el colimit se toma sobre todos los subconjuntos abiertos del espacio que contiene ). $tu$ $X$ $V$ $Y$ $f(u)$

Por ejemplo, si es solo una incrustación de un punto en , entonces es una capa de haz en este punto. $F$ $y$ $Y$ $f^{-1}({\mathcal {F}})$ ${\ matemáticas {F}}$

La existencia de aplicaciones de restricción, así como la funcionalidad de la imagen inversa, se derivan de la propiedad universal de los límites directos.

Cuando se consideran morfismos de espacios localmente anillados , por ejemplo, esquemas en geometría algebraica , a menudo se trabaja con haces de -módulos , donde es una estructura haz . Entonces el funtor no es adecuado, ya que el resultado de su aplicación, en términos generales, no es un haz de -módulos. Para corregir esto, en esta situación, para un haz de -módulos , su imagen inversa está determinada por la regla $f\dos puntos X\a Y$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $Y$ $f^{-1}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\ matemática G}$

f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes_{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y )){\mathcal {O}}_{X}

Propiedades

Aunque es más difícil de definir que , sus capas se calculan de forma más sencilla: para el punto , tenemos . $f^{-1}$ ${\ Displaystyle f_ {\ ast}}$ $x\en X$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x))))$
$f^{-1}$ es un funtor exacto , como se puede ver en el cálculo de las capas anteriores.
${\ estilo de visualización f ^ {*}}$ , en general, solo es precisa a la derecha. Si es exacta, se dice que f es plana . ${\ estilo de visualización f ^ {*}}$
$f^{-1}$ se deja conjugado al funtor de imagen directa , es decir, hay un isomorfismo natural ${\ Displaystyle f_ {\ ast}}$

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G)),{\mathcal {F)))=\mathrm {Hom}_{ \mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}),f_{*}{\mathcal {F)))

Literatura

Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .