Functor de imagen directa
El funtor de imagen directa es una generalización de la noción de sección de una gavilla al caso relativo.
Definición
Sea f : X → Y un mapa continuo de espacios topológicos , y sea Sh (-) la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Functor de imagen directa
lleva la gavilla F sobre X a una pregavilla
que resulta ser una gavilla en Y .
Esta operación es funcional, en el sentido de que el morfismo de gavilla φ: F → G en X genera el morfismo de gavilla f ∗ (φ): f ∗ ( F ) → f ∗ ( G ) en Y .
Ejemplo
Si Y es un punto, entonces el funtor de imagen directa coincide con el funtor de sección global.
Imágenes directas superiores
El funtor de imagen directa es exacto a la izquierda, pero no exacto a la derecha en general. Por lo tanto, podemos considerar los funtores derivados correctos del funtor de imagen directa. Se denominan imágenes directas superiores y se denotan por R q f ∗ .
Para imágenes directas superiores, se puede dar una expresión similar a la expresión para imágenes directas: para un haz F en X , R q f ∗ ( F ) es el haz asociado con el prehaz
Propiedades
- El funtor de imagen directo es conjugado a la derecha del funtor de imagen inverso , es decir, para cualquier mapa continuo y en X , Y respectivamente, hay un isomorfismo natural
- Si f es una incrustación de un subespacio cerrado X ⊂ Y , entonces f ∗ es exacta. Además, en este caso f ∗ es una categoría de equivalencia entre roldanas en X y roldanas en Y apoyadas en X. Esto se deduce del hecho de que la fibra es igual si e igual a cero en caso contrario (aquí usamos la clausura de X en Y ).
Literatura
- Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .