Funciones de Krylov

Las funciones de Krylov ( Funciones de Krylov-Duncan [1] ) son un sistema de cuatro funciones que representan la solución general de una ecuación diferencial :

${\frac {d^{4}y}{dx^{4}}}=ay$ .

(una)

La solución general de la ecuación (1) at se expresa como una combinación lineal de cuatro funciones: $a\geq 0$

y(x)=C_{1}\cdot \operatorname {K} _{1}(\beta x)+C_{2}\cdot \operatorname {K} _{2}(\beta x)+ C_{3}\cdot \operatorname {K} _{3}(\beta x)+C_{4}\cdot \operatorname {K} _{4}(\beta x)

donde _ ${\ estilo de visualización \ beta = {\ sqrt [{4}] {a))}$

Usualmente, , , y se usan como funciones , , , , pero en problemas de teoría de la elasticidad se usan funciones , , , de una forma especial, llamadas funciones de Krylov en honor al matemático A. N. Krylov , quien aplicó estas funciones para describir la flexión de una viga apoyada sobre una base elástica [2] . A veces se denotan con los símbolos , , , [3] . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {1} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {2} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {3} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {4} (x)}$ $e^{x}$ ${\ estilo de visualización e^{-x))$ $\sin x$ $\cos x$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {1} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {2} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {3} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {4} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {S} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {T} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {U} (x)}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {V} (x)}$

Fueron introducidos de forma independiente por el científico inglés W. J. Duncan [4] .

Definición

Las funciones de Krylov se expresan de la siguiente manera: [3]

\operatorname {K} _{1}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x+\cos x)

\operatorname {K} _{2}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x+\sin x)

\operatorname {K} _{3}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {ch} x-\cos x)

\operatorname {K} _{4}(x)={\frac {1}{2}}(\operatorname {sh} x-\sin x)

La principal propiedad de las funciones de Krylov es que la derivada de cualquiera de ellas da como resultado la anterior:

\operatorname {K} _{1}(x)=\operatorname {K} _{2}'(x)=\operatorname {K} _{3}''(x)=\operatorname {K} _ {4}'''(x)=\nombre del operador {K} _ {1}^{IV}(x)

Además, se cumplen las siguientes condiciones iniciales: en , la primera función es igual a 1, y todas las demás son iguales a 0: $x=0$

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {K} _ {1} (0) = 1}

, .

\operatorname {K} _{2}(0)=\operatorname {K} _{3}(0)=\operatorname {K} _{4}(0)=0

Funciones de Krylov-Vlasov

Cuando , la solución de la ecuación (1) se expresa en términos de las funciones $un<0$

\operatorname {\Phi } _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x

\operatorname {\Phi } _{2}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \sin x

\operatorname {\Phi } _{3}(x)=\operatorname {sh} x\cdot \cos x

\operatorname {\Phi } _{4}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \sin x

que se denominan funciones de Krylov-Vlasov [5] en honor a V.Z. Vlasov . La solución general de la ecuación (1) at es una combinación lineal de cuatro funciones (at ), donde . $un<0$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {\ Phi} _ {i} (\ beta x)}$ ${\ estilo de visualización i = 1,2,3,4}$ $\beta ={\sqrt[{4}]{-a/4))$

Más a menudo, al resolver problemas, se utilizan varias combinaciones de funciones de Krylov-Vlasov, que también se denominan funciones de Krylov: [6] [7]

\operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {ch} x\cdot \cos x=\operatorname {\Phi } _{1}(x)

\operatorname {V} _{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x+\operatorname {sh} x\cdot \cos x\right)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)+\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)

\operatorname {V} _{3}(x)={\frac {1}{2}}\operatorname {sh} x\cdot \sin x={\frac {1}{2}}\operatorname {\Phi}_{2}(x)

\operatorname {V} _{4}(x)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {ch} x\cdot \sin x-\operatorname {sh} x\cdot \ porque x\right)={\frac {1}{4}}\left(\operatorname {\Phi } _{4}(x)-\operatorname {\Phi } _{3}(x)\right)

Las principales propiedades de las funciones de Krylov casi se conservan en este caso:

\operatorname {V} _{1}(x)=\operatorname {V} _{2}'(x)=\operatorname {V} _{3}''(x)=\operatorname {V} _ {4}'''(x)=-{\frac {1}{4}}\nombre del operador {V}_{1}^{IV}(x)

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {V} _ {1} (0) = 1}

, .

\operatorname {V} _{2}(0)=\operatorname {V} _{3}(0)=\operatorname {V} _{4}(0)=0

Véase también

Notas

↑ I. A. Karnovsky, O. Lebed. 14.4.3 Método Krylov-Duncan // Métodos Avanzados de Análisis Estructural . - 201. - S. 543-545. — 593 pág. Archivado el 19 de abril de 2017 en Wayback Machine .
↑ Yu.I. Vinogradov. Funciones de Cauchy-Krylov en los cálculos de resistencia de placas y láminas . - 2013. - Nº 8 . - S. 15-19 . Archivado desde el original el 1 de febrero de 2017.
↑ 1 2 Biderman VL La teoría de las vibraciones mecánicas . - M. : Escuela Superior, 1980. - S. 150. - 408 p. Archivado el 13 de abril de 2013 en Wayback Machine . Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 10 de diciembre de 2011. Archivado desde el original el 13 de abril de 2013. (indefinido)
↑ Duncan, WJ Oscilaciones libres y forzadas de vigas continuas por el método de admitancia // Philosophical Magazine . - 1943. - vol. 34 , núm. 228 .
↑ Freidin AS Resistencia y durabilidad de las juntas adhesivas . - 2ª revisión. y adicionales.. - M. : Química, 1981. - S. 96-97. — 272 págs.
↑ Boyarshinov S.V. §3. Caparazones cilíndricos cargados axisimétricos cortos // Fundamentos de Mecánica Estructural de Máquinas . - M. : Mashinostroenie, 1973. - S. 326. - 456 p.
↑ Kolosova G. S. Aplicación de las funciones de A. N. Krylov para resolver problemas de mecánica estructural // Construcción de edificios y estructuras singulares. - 2013. Archivado el 2 de febrero de 2017.

Literatura

Krylov A. N. Sobre el cálculo de vigas acostadas sobre una base elástica. L.: AN SSSR, 1931. 154 p.